szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 maja 2013, o 16:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Wyprowadzenie równania zwierciadła parabolicznego

Nasze zadanie będzie polegało na znalezieniu równania linii przekroju osiowego takiego zwierciadła wklęsłego, dla którego wiązka promieni równoległych przechodzi po odbiciu przez dokładnie jeden punkt.

Wprowadźmy układ współrzędnych jak na rysunku poniżej. Przyjmijmy, że punktem przecięcia się promieni odbitych jest punkt F(f,0)

Załącznik:
parabola.1.png
parabola.1.png [ 38.51 KiB | Przeglądane 1560 razy ]

Na podstawie prawa odbicia mamy \theta_1=\theta_2
Z równości kątów naprzemianległych dostajemy |\angle \mathrm{NDF}|=\theta_1. Oznaczmy ten kąt przez \theta Poprowadźmy styczną f do krzywej w punkcie N. Styczna ta jest prostopadła do prostej \mathrm{ND}. Zatem \beta=90^{\circ}-\theta Ponadto mamy |\angle \mathrm{BFN}|=\alpha=2\theta.

Niech punkt \mathrm{N} ma współrzędne (x,y). Ze względu na symetrię, rozważmy tę część krzywej, która leży na osią Ox.

Mamy wtedy oczywiste związki :
(\star ) \  \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } =\tg\beta=\tg\left(90^{\circ}-\theta\right)=\ctg{\theta} \\ \\ (\star\star )\  f=x+y\ctg{2\theta}

Na podstawie własności funkcji trygonometrycznych możemy zapisać:
\ctg 2\theta= \frac{\ctg^2 \theta -1}{2\ctg\theta}

Mamy więc :
f=x+  \frac{y}{2 \cdot  \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } }\left[\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right)^2-1\right]

Różniczkując stronami otrzymujemy:

\frac{ \mbox{d}f }{ \mbox{d}x } = \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}x } + \frac{1}{2}   \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left[ \frac{y}{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } }\left(\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right)^2-1\right)\right]

Wartość f nie zależy od x więc:

0= 1+ \frac{1}{2} \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x } \left[ y \left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } - \frac{1}{\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }} \right)\right] \\ \\ 0=2+ \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }  \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }+y \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 } - \frac{ \mbox{d}}{ \mbox{d}x }\left( y \cdot \frac{1}{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } } \right) \\ \\ 0=2+  \left(\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }\right)^2+y \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 } -  \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }  \frac{ \mbox{d}x }{ \mbox{d}y}+y \cdot  \frac{ \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } }{\left( \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x^2 } \right)^2} \\ \\  0=1+ \left(\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }\right)^2+y \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 } +y \cdot  \frac{ \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x^2 } }{\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right)^2} \\ \\ 0=\left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\right)^2+ \left(\frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x }\right)^4+y \frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 } \cdot \left(\frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }\right)^2 +y \cdot   \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x^2 } \\ \\ 0=\left[\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right)^2+y \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x^2 } \right] \cdot \left[1+\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right)^2\right]

Wyrażenie w ostatnim nawiasie jest zawsze dodatnie zatem otrzymujemy równoważną zależność :
\left( \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } \right)^2+y \frac{ \mbox{d}^2y}{ \mbox{d}x^2 }=0

Podstawmy t(y)= \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x }. Otrzymujemy wtedy:

\frac{ \mbox{d}^2y }{ \mbox{d}x^2 }= \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}x }  = \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}y}  \frac{ \mbox{d}y}{ \mbox{d}x } =t   \cdot \frac{ \mbox{d}t}{ \mbox{d}y }

Zatem nasze równanie przyjmuje teraz postać:

y\frac{\mbox{d}t}{ \mbox{d}y} \cdot t+t^2=0\\ \\ y \frac{ \mbox{d}t }{ \mbox{d}y }=-t \\  \\ \int  \frac{ \mbox{d}t}{t} =- \int \frac{ \mbox{d}y }{y}\\ \\ \ln|t|=-\ln|y|+c_1 \\ \\ ty=c_{1}' \\ \\  \frac{ \mbox{d}y }{ \mbox{d}x } = \frac{c_1'}{y}  \\ \\ \int y  \mbox{d}y=c_1' \int \mbox{d}x  \\ \\  \frac{1}{2}  y^2= x c_1'+c_2

Do naszej krzywej należy punkt (0,0). Stąd c_2=0. Nasza krzywa ma więc równanie y^2=cx. Jest to więc parabola.
Przez bezpośrednie podstawienie możemy sprawdzić, że punkt F jest ogniskiem paraboli. Mamy więc c=4f. Zatem ostatecznie równanie przekroju naszego zwierciadła to :

\begin{tabular}{|r|}
\hline
y^2=4fx\\
 \hline
\end{tabular}


\hline
Wszelkie uwagi proszę kierować na PW.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Równanie fali elektromagnetycznej  Amon-Ra  0
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Równanie kwadratowe.  Anonymous  1
 Rozwiąż graficznie równanie - zadanie 6  Anonymous  17
 Rozwiąż równanie trygonometryczne  Anonymous  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl