szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 maja 2013, o 22:49 
Użytkownik

Posty: 350
Zbadać, czy podane funkcje są ograniczone na wskazanych zbiorach:

a) f \left( x \right) =\tg x, \quad  x\in\left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right)

b) f \left( x \right) =\frac{x^2+1}{x+1}, \quad x\in\left\langle 0,\infty \right)

Wiem, że \tg x jest w tym przedziale nieograniczony, jednak jak to uzasadnić.
Zaczęłam tak: przypuśćmy, że dowolna liczba M>0, ogranicza zbiór wartości z góry, wtedy
\tg x\le M... I co dalej? W tym samym miejscu mam problem z podpunktem b.

Narodził się pomysł, żeby wykorzystać tutaj ekstrema.

a) f' \left( x \right) =\frac{1}{\cos^2x}
\frac{1}{\cos^2x}=0 \implies równanie sprzeczne \implies brak wartości ekstremalnych \implies funkcja nie jest ograniczona.

b) Funkcja na podanym przedziale przyjmuje tylko wartość minimalną 2\sqrt{2}-2 dla x=\sqrt{2}-1, więc jest ograniczona z dołu, ale nie jest z góry.

Proszę o wytknięcie błędów :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2013, o 22:54 
Moderator

Posty: 10323
Lokalizacja: Gliwice
1. Wystarczy wziąć x>\arctan M, aby otrzymać sprzeczność.
2. Wystarczy obliczyć granicę przy x\to\infty. Funkcja nie jest ograniczona z góry.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 maja 2013, o 22:57 
Użytkownik

Posty: 350
Dziękuję, za odpowiedź.
Czyli mam rozumieć, że mój sposób jest dobry, ale przekombinowany?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 maja 2013, o 23:02 
Moderator

Posty: 10323
Lokalizacja: Gliwice
Zgadza się.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 29 maja 2013, o 23:14 
Użytkownik

Posty: 350
A dlaczego x>\arctan M jest sprzeczne?

Dla M>0 \implies \arctan M \in  \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) \subset  \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right).

Czy coś już mieszam?

Swoja droga, myślałam nad tym arcusem tangensem na początku. Jednak nie byłam pewna czy przy nierówności można go sobie tak po prostu nałożyć. Postanowiłam wpisać to w wolfram i jakieś farfocle mi wyszły, więc z niego zrezygnowałam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 maja 2013, o 07:29 
Użytkownik

Posty: 2044
Lokalizacja: Warszawa
a)
Gosiu, wystarczy pokazać, że funkcja y=\tg(x) jest rosnąca w całej dziedzinie i policzyć granice (jednostronne) na krańcach interesującego nas przedziału... :)

b)
dobrze. :)
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 30 maja 2013, o 11:38 
Użytkownik

Posty: 350
Chyba już doszłam o co chodzi.
Arcusa tangensa możemy nałożyć, bo mamy podany przedział, a ta nierówność jest sprzeczna, bo wychodzi właśnie \left( 0,\frac{\pi}{2} \right) a nie \left( -\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2} \right).

Tak?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 maja 2013, o 13:38 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Chcemy pokazać, że dla każdego M znajdziemy taki argument N, że \tg N > M. Takim N jest N > \arctg M, bo \tg N > \tg \arctg M = M.

\frac{x^2+1}{x+1} = \frac{x^2-1 + 2}{x+1} = x+1 + \frac{1}{x+1}. Funkcja x+1 jest nieograniczona, a \frac{1}{x+1} zbiega do zera przy bardzo dużym x. Zatem funkcja wyjściowa również jest nieograniczona.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje cyklometryczne - zadanie 13  ulka1987  3
 Wyznacz funkcję odwrotną - zadanie 3  gajo10  2
 Funkcje odwrotne - zadanie 12  ss900  6
 jak policzyc taka funkcje odwrotna  kawafis44  3
 funkcje max i mni  dzastinam  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl