szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2013, o 14:32 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Witam!

Mam wyznaczyć funkcje spełniające następujące:
\Phi(x) = 1 + \Phi(-x)\\
e^{\Phi(x)} = \pi x
Wiem, że funkcja \Phi(x) jest różniczkowalna na całej dziedzinie i całkowalna.
Jak można podejść do tego problemu?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2013, o 15:13 
Gość Specjalny

Posty: 5479
Lokalizacja: Toruń
Jak rozumiem, ta równość druga ma zachodzić tylko dla x > 0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2013, o 15:16 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Przypuszczam, że tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2013, o 19:39 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Jak rozumiem funkcja nie jest określona dla zera bo inaczej biorąc x=0 w pierwszym równaniu dostaniemy sprzeczność. Albo taka funkcja nie istnieje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 3 cze 2013, o 19:44 
Gość Specjalny

Posty: 5479
Lokalizacja: Toruń
No to logarytmując obustronnie drugie równanie mamy \Phi (x) = \ln \pi x dla x > 0. Teraz z pierwszej równości przedłużamy odwzorowanie, tj. kładziemy \Phi(-x) = \ln \pi x - 1. Oczywiście takie odwzorowanie określone jest na \mathbb{R} \setminus \{ 0 \}, ale z pierwszego warunku kładąc x = 0 wynikałoby, że 0 = 1, co prowadzi do sprzeczności, zatem zero nie może leżeć w dziedzinie.
Ostatecznie zatem
\Phi (x) = \begin{cases} \ln (\pi x), \ \mbox{dla} \ x > 0, \\ \ln (-\pi x) - 1, \ \mbox{dla} \ x < 0 \end{cases}
Oczywiście funkcja ta jest różniczkowalna na całej dziedzinie (która jest oczywiście zbiorem otwartym). Ma funkcję pierwotną na całej dziedzinie, lecz nie jest całkowalna na całej dziedzinie, tj. całka
\int_{\mathbb{R} \setminus \{ 0 \}} \Phi (x) \mbox{d}x
nie jest zbieżna. Jest jednak całkowalna na dowolnym zwartym podzbiorze dziedziny.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcje, dziedzina  qkiz  3
 Funkcje w trzecim wymiarze.  Anonymous  3
 Ciekawie wygladajace funkcje  kris  1
 Funkcje uwikłane / podac przykład odpowiedniej funkcji :)  matmamatma  0
 Zbiór zadań - INNE FUNKCJE  Arek  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl