szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2013, o 18:17 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Liczby naturalne n, m są nieparzyste. Uzasadnij, że liczba n^{2}- m^{2}+2 nie jest kwadratem liczby całkowitej.

n^{2}- m^{2}+2=(n-m)(n+m)+2
Różnica liczb nieparzystych i suma liczb nieparzystych daje nam liczbę parzystą, więc n-m i n+m bedą liczbami parzystymi. W takim razie to wyrażenie możemy zapisać w postaci (n-m)(n+m)+2=4k+2.
4k+2 jest podzielne przez 2, ale nie jest podzielne przez 4, więc nie jest kwadratem liczby całkowitej.

To jest zadanie z poprzednich lat, ale chciałem się zapytać, czy takie uzasadnienie wystarczy na mateksie aby dostać maks. punktów. Czy potrzeba jeszcze wykazać, że 4k+2 nie jest kwadratem liczby całkowitej? Czy może to zupełnie inaczej trzeba uzasadnić? Już trochę panikuję:) Proszę o pomoc wszystkich użytkowników forum, ale byłbym bardzo zadowolony, gdyby się odezwał ktoś, kto pisał ten egzamin.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2013, o 18:23 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Co prawda nie pisałem nigdy tego egzaminu, ale jakiś czas temu przygotowywałem do niego osobę, której udało się całkiem nieźle ten egzamin napisać, więc może się nadam ;).

Uzasadnienie jest jak najbardziej ok, co najwyżej można na koniec dodać, że w rozkładzie kwadratu liczby naturalnej na czynniki pierwsze każda liczba pierwsza występuje z parzystym wykładnikiem, a w naszym wypadku tak nie jest, bo dwójka występuje z wykładnikiem 1. Ale nawet bez tego komentarza rozwiązanie powinno być ocenione na maksa, bo idea jest dokładnie taka.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2013, o 18:39 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Qń napisał(a):
Co prawda nie pisałem nigdy tego egzaminu, ale jakiś czas temu przygotowywałem do niego osobę, której udało się całkiem nieźle ten egzamin napisać, więc może się nadam ;).

Uzasadnienie jest jak najbardziej ok, co najwyżej można na koniec dodać, że w rozkładzie kwadratu liczby naturalnej na czynniki pierwsze każda liczba pierwsza występuje z parzystym wykładnikiem, a w naszym wypadku tak nie jest, bo dwójka występuje z wykładnikiem 1. Ale nawet bez tego komentarza rozwiązanie powinno być ocenione na maksa, bo idea jest dokładnie taka.

Q.


Wielkie dzięki za pomoc:) Skoro przygotowałeś skutecznie osobę, która dobrze ten egzamin napisała, to musisz mieć rację:) U mnie z myśleniem jest w miarę ok, ale jak na konkursie są odpowiedzi zamknięte
( a,b,c,d), ale jak trzeba coś uzasadniać, to mam problem ze sformułowaniem, może dlatego, że nigdy nie brałem udziały w takim konkursie jak np. OMG, bo w mojej szkole nikt tego nie ogłaszał.
Ale wracając do mateksu, to dzwoniłem do sekretariatu i mi powiedziano, że egzamin trwa 90 min. Jak na 6 zadań, to moim zdaniem dużo czasu, więc pomyślałem, że za krótko uzasadniam:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2013, o 19:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Żeby sformalizować dowód możesz jeszcze podzielić całkowite na cztery klasy: 4k, 4k+1, 4k+2 oraz 4k+3:

\left( 4k\right)^2=16k^2=4\left( 4k^2\right)

\left( 4k+1\right)^2=16k^2+8k+1=4\left( 4k^2+2k\right)+1

\left( 4k+2\right)^2=16k^2+16k+4=4\left( 4k^2+4k+1\right)

\left( 4k+3\right)^2=16k^2+24k+9=4\left( 4k^2+6k+2\right)+1


Zatem kwadrat liczby dowolnej klasy nie należy do klasy 4k+2, skąd wniosek, że 4k+2 nie jest kwadratem liczby całkowitej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2013, o 19:29 
Użytkownik

Posty: 8
Lokalizacja: Radom
Dzięki:) A czy Vether uważasz, że bez twojego wyjaśnienia też by mi uznali?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 cze 2013, o 19:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Myślę, że tak. W końcu prawdą jest, że:

Dla każdego l \in \ZZ:

2|l^2  \Leftrightarrow 2|l

Ponadto dla każdego l \in \ZZ:

2|l  \Leftrightarrow 4|l^2

Skąd (wykorzystana przez Ciebie równoważność):

2|l^2  \Leftrightarrow 4|l^2

Skoro więc 2|\left( 4k+2\right), ale 4\not| \left( 4k+2\right), to 4k+2 \neq l^2, ckd.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznacz reszte z dzielenia liczby x+y  raitoningu  3
 Podzielność i liczby pierwsze  r0xt4r  4
 Logika plus podzielność liczby  Ice12  2
 Przybliżenie liczby - zadanie 4  filipek42333  1
 Wykazać podzielność liczby przez 7.  bobofruit  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl