szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Cześć : )

Przeglądałem forum i ciężko znaleźć temat, gdzie cecha podzielności przez siedem jest udowodniona i zrobiona do końca. Stąd moje pytanie. Jak to udowodnić? Oczywiście kongrunecje wchodzą w gre.

Będę bardzo wdzięczny za pomoc! : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:34 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Zauważ, że ułamek \frac{1}{7} jest okresowy 0,(142857).
Niech a=a_{n}10^n+a_{n-1}10^{n-1}+.....a_{1}10^1+a_{0}.
Z okresowości widać że: a_{0} ma tą samą resztę z dzielenia co a_{6}
i ogólnie dla każdego i
a_{i} ma tą samą resztę z dzielenia co a_{6+i}
stąd
7|a gdy 7|a_{0}+10a_{1}+100a_{2}-a_{4}-10a_{5}-100a_{6}+....
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
robertm19, oj oj oj nie o takie coś mi chodziło : ) Wątpie czy stwierdzenie, że ułamek \frac{1}{7} jest okresowy , jest tutaj takie oczywiste i banalne do pokazanie(np. na egzaminie). Reszta też jest hmmm, troche machaniem rękami : ) .
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:44 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Mozna także zauważyć, że :
N = a _{0} + 10a _{1} + 10 ^{2}a _{2} + ... + 10 ^{n}a _{n} = a _{0} + (7 + 3)a _{1} + ... + ( 7 + 3) ^{n} a _{n}  = 7k + a _{0} + 3a _{1} + 3 ^{2}a_{2} + ... + 3 ^{n}a _{n} czyli
7 | N  \Leftrightarrow 7|a _{0} + 3a _{1} + 3 ^{2}a_{2} + ... + 3 ^{n}a _{n}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Zahion, nieźle!! Super dowód ! I mega elementarny! : ) Mam nadzieję, że nie ma w nim żadnych dziur logicznych i, że rzeczywiście taki dowód przeszedłby na egzaminie : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:53 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
leszczu450 napisał(a):
robertm19, oj oj oj nie o takie coś mi chodziło : ) Wątpie czy stwierdzenie, że ułamek \frac{1}{7} jest okresowy , jest tutaj takie oczywiste i banalne do pokazanie(np. na egzaminie). Reszta też jest hmmm, troche machaniem rękami : ) .

Dobre pytanie :)
Pisemnie dzielisz aż dochodzisz do momentu w którym znowu dzielisz 1 przez 7.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
robertm19, wyobrażasz sobie egzamin na którym student pisemnie dzieli jeden przez siedem? : D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 16:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5630
sorry admin ale nie wiem jak zapisywać resztę z dzielenia

10mod7=3

100mod7=2

1000mod7=-1

10000mod7=-3

100000mod7=-2

1000000mod7=1

1000000mod7=3

10000000mod7=2
........

Reszty pojawiają się okresowo3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1,-3,-2,1,3,2,-1........(możesz łatwo to sprawdzić z kongruencji)

Więc warunek podzielności dla liczby (w zapisie pozycyjnym)

abcde warunek to ze suma e+3d+2s-b-3a jest podzielna przez 7
abcdefghi warunek to ze suma i+3h+2g-f-3e-2d+c+3b+2ajest podzielna przez 7
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 17:05 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Tak ale,
10=3 mod_{7}
100=2 mod_{7}
i tak dalej. Stąd się tam wzięły te liczby.
leszczu450 napisał(a):
robertm19, wyobrażasz sobie egzamin na którym student pisemnie dzieli jeden przez siedem? : D

To możesz ten powyżej ułamek okresowy zamienić na zwykły ( poziom liceum, może się nie obrazi, bo pisemne dzielenie to rzeczywiście podsawowka).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 17:11 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Też mam nadzieje, że nie ma w nim dziur logicznych :D Co do kongruencji to rozpisze inny dowód:
Niech N \in N i N = c _{1}10 ^{n-1}  + c _{2}10 ^{n-2} + ... + 10 _{n-1} + c _{n} Możemy zapisać w postaci : N = ... + 1000 ^{1}(c _{n-5}c _{n-4}c _{n-3}) _{10} + (c _{n-2}c _{n-1}c _{n}) _{10} Zauważ, że jeśli g(X) = ... + X(c _{n-5}c _{n-4}c _{n-3}) _{10} + (c _{n-2}c _{n-1}c _{n}) _{10} to N = g(1000).
1000  \approx -1 (mod7) , bo 1001 = 7 * 13 * 11 czyli N = g(1000)  \approx g(-1)(mod7) i g(-1) = ... + (-1) ^{1}(c _{n-5}c _{n-4}c _{n-3}) _{10} + (c _{n-2}c _{n-1}c _{n}) _{10} Stąd 7 dzieli liczbę N \Leftrightarrow gdy dzieli naprzemienną sumę liczb powstałych z podziału liczby N na trójki.
PS. Nie wiedziałem jak zrobić znak przystawiania więc zastosowałem \approx
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 17:27 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Twój zapis jest mega nieczytelny : ) Dałbyś rade trochę tam pozmieniać i słówko komentarza dać? : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 17:28 
Moderator

Posty: 1902
Lokalizacja: Trzebiatów
Wyśle Ci link na pw.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 cze 2013, o 18:41 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Dzięki za odpowiedzi : ))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2013, o 09:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 5630
Dla mnie implikacją pierwszego postu robertm19 jest to że warunek podzielności przez n jest złożony z tylu elementów co okres ułamka 1/n. Dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 cze 2013, o 13:24 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Dodam jeszcze, że każdy ułamek zwykły ma rozwinięcie skończone lub okresowe. Wynika to ze schematu dzielenia pisemnego i zasady szufladkowej Dirichleta.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Cecha podzielności przez 7  myszka9  2
 Podzielność przez 19 - zadanie 5  agi91mat  3
 Kolejne przykłady podzielności  icody  1
 Udowodnić, podzielność przez 14  madziula1784  2
 Podzielność różnicy potęg przez 10  oskaryh  8
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl