szukanie zaawansowane
 [ Posty: 1 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 12 cze 2013, o 21:47 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12553
Lokalizacja: Kraków
Rachunek wariacyjny - wyprowadzenie równania Eulera Lagrange'a


1. Wprowadzenie:


Niech X będzie unormowaną przestrzenią funkcji klasy C^{1}([a,b]) z normą

||f||:=\sup\limits_{x\in [a,b]}|f(x)|+\sup\limits_{x\in [a,b]}|f'(x)|.


Definiujemy funkcjonał

J:X\ni f \mapsto \int_a^b F(x,f(x),f'(x))dx,


gdzie F:[a,b]\times \RR^2\to\RR jest odwzorowaniem klasy C^2 w pewnym zbiorze otwartym zawierającym [a,b]\times \RR^2



2. Twierdzenie:


Przy oznaczeniach i założeniach jak wyżej J jest różniczkowalny w X.

Dowód:    




3. Ustalenie oznaczeń.


Rozważmy problem z ustalonymi końcami, tzn bierzemy podprzestrzeń afiniczną

A:=\{f\in X: f(a)=c \wedge f(b)=d\}


A jest afiniczną podprzestrzenią wektorową dla

V:=\{h\in X: h(a)=h(b)=0\}


Funkcjonał J|_{A} jest różniczkowalny, tzn

\lim_{||h||\to 0} \frac{|J(f+h)-J(f)=d_gJ(h)|}{||h||}=0


oraz przyrosty są wektorowe, punkty mogą być afiniczne. Dalej dla uproszczenia opuszczamy symbol restryckji J do A.




4. Równanie Eulera - Lagrange'a.


Mamy:

\begin{aligned}
 d_fJ(h) & = \int_a^b\left(\pfrac{F}{y}(x,f(x),f'(x))h(x)+\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h'(x)\right)dx\\[2ex]
 &=  \int_a^b\pfrac{F}{y}(x,f(x),f'(x))h(x)dx+\int_a^b\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h'(x)dx\\[2ex]
 &= I_1+I_2
\end{aligned}

Rozważamy dalej I_2. Całkując przez części mamy:

\int_a^b\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h'(x)dx=\left[\pfrac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))h(x)\right]_a^b - \int_a^b\frac{d}{dx}\left(\frac{F}{y'}(x,f(x),f'(x))\right)h(x)dx


Stąd

d_fJ(h)=\int_a^b \left(\pfrac{F}{y}(x,f(x),f'(x))-\frac{d}{dx}\frac{\partial F}{\partial y'}(x,f(x),f'(x))\right)h(x)dx


Z warunku koniecznego istnienia ekstremum lokalnego

d_fJ(h)=0, h\in V.


Oznacza to, że całka znika dla dowolnego h\in V. A zatem (w zapisie bezargumentowym)

\pfrac{F}{y}-\frac{d}{dx}\pfrac{F}{y'}=0.


Jest to równanie Eulera - Lagrange'a. Po zróżniczkowaniu przyjmuje ono postać:

\pfrac{F}{y}-\frac{\partial^2 F}{\partial x\partial y'}-\frac{\partial^2 F}{\partial y\partial y'}y'-\frac{\partial^2 F}{\partial y'^2}y''=0
Góra
Instytut Matematyczny, Uniwersytet Wrocławski
Utwórz nowy temat Ten temat jest zamknięty. Nie możesz w nim pisać ani edytować postów.  [ Posty: 1 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 równanie różniczkowe o rozdzielonych zmiennych - zadanie 2  lukasz1804  0
 Tw. Cauchy'ego/Lagrange'a o wartości średniej  Lorek  0
 Znajdź równanie ogólnej stycznej i stycznych do okręgu  Anonymous  2
 Równanie kwadratowe.  Anonymous  1
 Rozwiąż graficznie równanie - zadanie 6  Anonymous  17
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) ParaRent.com