szukanie zaawansowane
 [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 cze 2013, o 20:51 
Użytkownik

Posty: 60
Wykaż, że jeśli p jest liczbą pierwszą większą od 3, to p ^{2} - 1 jest liczbą podzielną przez 24.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2013, o 21:25 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
p^{2}-1=(p-1)(p+1)

Rozpatrz teraz możliwe reszty z dzielenia przez 2,3 itp.

Pobaw się troche jak nie dasz rady to pisz o dalsze wskazówki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2013, o 21:31 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Łatwiej zauważyć, że każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci 6k\pm 1 dla pewnego k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2013, o 21:42 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
yorgin napisał(a):
Łatwiej zauważyć, że każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci 6k\pm 1 dla pewnego k.


A to już co kto lubi i tak chyba trzeba wchodzić w reszty.
Fajne, przyjemne zadanie! :D
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 cze 2013, o 22:37 
Użytkownik

Posty: 74
Lokalizacja: StW/Kr
p^2-1=(p-1)(p+1)
Musisz wykazać, że liczba dzieli się przez 8 i 3
Wskazówka do podzielności przez 3:
Iloczyn trzech kolejnych liczb naturalnych jest zawsze podzielny przez 3, czyli liczba (p-1)p(p+1) jest zawsze podzielna przez 3.
Wskazówk do podzielności przez 8:
Jeżeli liczba p jest pierwsza, to jest też nieparzysta, więc liczby p+1,p-1 są jakie?
Każdą liczbę parzystą da się przedstawić w postaci 2k lub 2k+2, dla k \in \mathbb{Z}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 cze 2013, o 23:18 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
yorgin napisał(a):
Łatwiej zauważyć, że każda liczba pierwsza większa od 3 jest postaci 6k\pm 1 dla pewnego k.
ale spostrzeżenie to jest właśnie wspomniane pobawienie się resztami z dzielenia przez 2 i 3.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 09:34 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
gryxon napisał(a):
A to już co kto lubi i tak chyba trzeba wchodzić w reszty.
Fajne, przyjemne zadanie! :D

Nie musimy, gdyż (6k\pm 1)^2-1=12k(3k\pm 1) i teraz k lub 3k\pm 1 jest parzyste, więc cała liczba jest podzielna przez 12\cdot 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 12:00 
Użytkownik

Posty: 314
Lokalizacja: Puławy
A to wcale nie jest bawienie się w reszty z dzielenia przez dwa... :p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 12:03 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
U mnie nie pada słowo reszta z dzielenia, tylko parzystość. Parzystość jest bardziej intuicyjna niż reszta z dzielenia, chociaż to jest to samo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 13:46 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Ale powtórzę, że stwierdzenie i wytłumaczenie, że liczby pierwsze od pewnego momentu są postaci 6k \pm 1 to jest już wejście w reszty z dzielenia.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 14:11 
Użytkownik

Posty: 60
Dzięki, już rozumiem to zadanie :)
Mam problem z innym.
Liczba naturalna ma dokładnie 4 dzielniki, a ich suma jest równa s. Zajdź tę liczbę jeśli:
a) s=56
b) s=40

Zrobiłam zadanie w ten sposób:
ab + a + b + 1 = 56 \\
 \left( a + 1 \right)  \left( b + 1 \right)  = 2 \cdot 28\\
a = 1\\
b = 27\\ \\
27 \cdot 1 + 27 +1 +1 = 56

Jakbym założyła, że 56 to 4 \cdot 14 to wyszłoby 39 i tak jest w odpowiedziach i jest tylko ta jedna opcja, nie wiem gdzie robię błąd. W b) też wychodzi 27.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 14:20 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Zauważ, że aby liczba miała dokładnie 4 dzielniki musi być u ciebie a \neq b.
a liczba 56=2^{3} \cdot 7 i masz więcej niż jedną mozliwość:
56=8 \cdot 7=4 \cdot 14=2 \cdot 28=1 \cdot 56 i liczby a i b muszą być dodatnie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 14:25 
Użytkownik

Posty: 60
Wiem, że mam więcej możliwości, tylko dlaczego w odpowiedziach jest tylko po jednej. Dlaczego niektóre wyniki muszę odrzucić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 14:34 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
No to trzeba policzyć i sprawdzić wszystkie opcje. Po kolei opcje z mojego poprzedniego posta.
1.56=8 \cdot 7
a=7 i b=6.
Liczba wychodzi a \cdot b=42
Dzielniki: 1,2,3,6,7,14,21,42 za dużo.
I tak dalej trzeba policzyć.
Albo można zauważyć, że aby liczba ta miała dokładnie 4 dzielniki liczby a i b muszą być obie pierwsze.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 28 cze 2013, o 14:38 
Użytkownik

Posty: 60
Wszystkie opcje w a) spełniają 39 i 27.
27 ma 4 dzielniki, a mimo to niema jej w odpowiedziach ..
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 17 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność liczb. - zadanie 2  krewetunia  1
 Podzielność liczb.  Micha?12345  33
 Podzielność liczb. - zadanie 4  paulinka24  7
 Podzielność liczb. - zadanie 5  joane20  2
 Bez obliczania liczby udowodnij podzielność  vladimir  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl