szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 15:43 
Użytkownik

Posty: 60
Wykaż, że dla każdej liczby naturalnej n, liczba n ^{5} - n jest podzielna przez 30.

Czy to zadanie da się rozwiązać metodą indukcji matematycznej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 15:51 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Próbowałbym indukcją. Ale pokazałbym że jest podzielna przez 5 i przez 6 osobno.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 60
Jakbyś spróbował indukcją to jak wyglądałoby założenie i teza?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 15:57 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Zał: 5|n^5-n
T: 5|(n+1)^5-n-1

Drugi przypadek
Zał: 6|n^5-n
T: 6|(n+1)^5-n-1

Pierwsze jest łatwe do wykazania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 17:46 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Trochę bardziej siłowo ale bez przypadków:
Krok indukcyjny:
\left( n+1\right)^{5}-n-1=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+5n+1-n-1=n^{5}+5n^{4}+10n^{3}+10n^{2}+4n=\left( n^{5}-n\right)+5n\left( n^{3}+2n^{2}+2n+1\right)=\left( n^{5}-n\right)+5n\left( \left( n+1\right)^{3}-\left( n+1\right)  \right) = \left( n^{5}-n\right)+5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
30|\left( n^{5}-n\right) z założenia indukcyjnego
5|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
2|n  \vee 2| n+1 \Rightarrow 2|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
3|n  \vee 3|n+1  \vee  3|  n^{2}+n+1\Rightarrow 3|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
Stąd:
30|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
A stąd natychmiast krok indukcyjny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 17:55 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
bakala12 napisał(a):
3|n  \vee 3|n+1  \vee  3|  n^{2}+n+1\Rightarrow 3|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)

Ten fakt dobrze jest osobno uzasadnić. O ile poprzednie były oczywiste, o tyle ten już nie jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 5 lip 2013, o 18:01 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
No tak to prawda, że tutaj należy się uzasadnienie, ale już mi się nie chciało.
Szkic:
Albo 3|n i natychmiast 3|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
Albo 3|n+1 i 3|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
Albo n \equiv 1 \pmod{3} i n^{2}+n+1 \equiv 1+1+1\equiv 0 \pmod{3} czyli stąd 3|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
W każdym wypadku:
3|5n\left( n+1\right) \left( n^{2}+n+1\right)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lip 2013, o 13:14 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Przy czym nawołuję do stosowania indukcji jedynie w ostateczności. Jak już nieraz pewnie się pojawiało:
n^{5}-n=\left(n+2\right)\left(n+1\right)n\left(n-1\right)\left(n-2\right)+5\left(n+1\right)n\left(n-1\right)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność liczb. - zadanie 3  paulinka24  16
 Podzielność liczb.  Micha?12345  33
 Podzielność liczb. - zadanie 2  krewetunia  1
 Podzielność liczb. - zadanie 5  joane20  2
 podzielność przez 111  janko2  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl