szukanie zaawansowane
 [ Posty: 28 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 19:43 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Udowodnij, że jeśli liczby p>3 i 10p+1 są pierwsze, to liczba 5p+1 nie jest pierwsza.

Skoro liczba p jest pierwsza to można zapisać ją postaci 6k \pm 1. A więc liczba 5p+1 =5(6k \pm 1)+1  \Leftrightarrow 30k+6  \vee  30k-4  \Leftrightarrow 2(15k+3) \vee 2(15k-2) nie może być pierwsza, gdyż jest podzielna przez 2.
Czy dowód jest poprawny?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 19:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Coś mi tu podejrzanie wygląda. Gdzie wykorzystujesz założenie, że 10p+1 jest liczbą pierwszą? A także, że p>3?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 19:49 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Wykorzystuję założenie, że p>3 w momencie, gdy zapisuję je w postaci 6k  \pm 1, gdyż nie da się w takiej postaci zapisać np. 2, czy 3 (które też są liczbami pierwszymi). A pierwsze założenie nie wiem jak wykorzystać, ale jeśli dowód jest poprawny to jest sens to robić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 19:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Z tym przedstawieniem jest OK. Ale nie korzystasz z założenia o 10p+1. Oczywiście jest dla mnie jasne, że liczba 5p+1 jest parzysta, jeśli p=6k\pm 1 przy k\ge 1. Nie mogę w tej chwili dogłębnie problemu zanalizować. Nie wypowiem się więc autorytatywnie. Przynajmniej w tej chwili, gdy w domu raban i dzieci spać kłaść trzeba :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 19:54 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Ok, dziękuję i tak. Może ktoś jeszcze się wypowie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:02 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Wiedząc, że liczba p>3 możemy przedstawić ją w postaci 6k \pm 1.

Korzystając z założenia, że 10p+1 jest liczbą pierwszą mamy:


1^\circ p=6k+1

10(6k +1)+1=60k+11


2^\circ p=6k-1

10(6k-1)+1=60k-9=3(20k-3) skąd sprzeczność z założeniem, że liczba 10p+1 jest pierwsza.


Zatem p=6k+1, a stąd 5p+1=5(6k+1)+1=30k+6=6(5k+1), a więc liczba 5p+1 nie może być pierwsza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:08 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Vether, rozwiązanie ok, ale nie zmienia to jednak faktu iż niezależnie od postaci p liczba 5p+1 jest parzysta.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Ale i tak chyba coś nie tak z tym zadaniem. Niech p\ge 3 będzie liczbą nieparzystą. Wtedy mamy, że 5p też jest nieparzyste, a więc 5p+1 parzyste. Oczywiście powyższe rozumowanie jest poprawne i bardzo ładne. Ale teza jest znacznie ogólniejsza.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
yorgin, wiem, chciałem tylko pokazać, w jaki sposób wykorzystać drugie założenie, gdyby komuś bardzo na tym zależało;) Zgadzam się jednak, że jest trochę... zbędne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:20 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Pozostaje poczekać, aż wypowie się soulforged. Może napisał nie to, co chciał napisać. Chodzi albo o inne założenia, albo o inną tezę. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
szw1710 napisał(a):
Pozostaje poczekać, aż wypowie się soulforged. Może napisał nie to, co chciał napisać. Chodzi albo o inne założenia, albo o inną tezę. :)

Polecenie jest poprawne. Podkusiło mnie o sprawdzenie "książkowego rozwiązania" i tam to założenie jest rzeczywiście wykorzystanie. Pytanie jednak mam inne - czy za niewykorzystanie tego założenia mogliby odjąć punkty, na przykład na OM?
Treść rozwiązania Henryka Pawłowskiego:
Cytuj:
Liczba p jest postaci 3k lub 3k+1 lub 3k+2, gdzie k  \in N. Przypadek 3k nie zachodzi, gdyż p>3 i p jest liczbą pierwszą. Przypadek 3k+2 także nie zachodzi, gdyż wówczas 10p+1 = 10(3k+2)+1 = 30k+21=3(10k+7) nie jest liczbą pierwszą. Pozostał więc przypadek p=3k+1. Wtedy 5p+1=5(3k+1)+1 = 3(5k+2) jest liczbą złożoną.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Jest to więc zadanie z książki Pawłowskiego? Regulamin Forum zabrania zamieszczania skanów. Ale chętnie zobaczę skan na PW.

Rozwiązanie OK. Ale dziwi mnie, że takie zadanie znajdować by się mogło w takiej książce. Chcę to zweryfikować.

Ja nie wiem jak się ocenia zadania z pozycji nauczyciela szkoły średniej. To wszystko obrosło ogromną paranoją upupiającą (słowo z Ferdydurke Gombrowicza, ale tu najwłaściwsze) zdroworozsądkowe myślenie i tok rozwiązania inny niż oficjalny. Osobiście uważam, że dobra jest każda metoda prowadząca do celu, byle poprawna. Rozwiązanie z liczbami pierwszymi uważam za udziwnienie, ale trzeba by go uznać. Jeśli jednak można taniutkim kosztem pokazać coś więcej - czemu nie. Ale zapewne byłbyś oceniony niżej za niewykorzystywanie założeń. Jednak - jak powiadam - do końca nie wiem. Może ktoś z olimpijczyków będzie w stanie powiedzieć coś więcej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:41 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Niestety jestem teraz na telefonie, ale jutro z samiuśkiego ranka wyślę skan. Jest to zadanie z dość popularnej ''krowy''. Chcę się przygotować do OM, więc zacząłem właśnie od niej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:53 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Za poprawne rozwiązanie niekorzystające z założenia o pierwszości 10p+1 dostałbyś maksymalną ilość punktów. Zdarza się (choć nie często), że w zadaniu są dane niepotrzebne założenia, nikt za poprawny dowód nie ma prawa ścinać punktów.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lip 2013, o 20:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17836
Lokalizacja: Cieszyn
Vax napisał(a):
[...] nikt za poprawny dowód nie ma prawa ścinać punktów.


Też tak uważam. Ale idee ideami, a życie życiem. Chciałbym, żeby było tak jak piszesz.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 28 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Wykaż, że liczba jest podzielna przez 33  Anonymous  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl