szukanie zaawansowane
 [ Posty: 12 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 09:56 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Liczby naturalne p i q (p < q) są kolejnymi liczbami pierwszymi
większymi od 2. Wykaż, że liczba p + q jest iloczynem co najmniej trzech
liczb naturalnych (niekoniecznie różnych) większych od 1.

Rozpatrzmy trzy przypadki:
1. \ \ \ \ p=3  \wedge q = 5
Wówczas p+q=3+5=8=2 \cdot 2 \cdot 2 jest iloczynem trzech liczb naturalnych, większych od 1.
2. \ \ \ \ p=5 \wedge q=7
Wówczas p+q=5+7=12=2 \cdot 2 \cdot 3 jest iloczynem trzech liczb naturalnych, większych od 1.
3. \ \ \ \ p>5   \wedge q>7
Wprowadźmy oznaczenia:
p= 6k-1 \\ q = 6k+1
A więc liczba p+q=6k-1+6k+1=12k=2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot k jest iloczynem trzech liczb naturalnych, większych od 1.
Czy rozwiązanie jest poprawne, czy istnieje prostszy sposób?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 09:58 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Wygląda zupełnie w porządku.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:04 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Jest źle. To, że są to kolejne liczby pierwsze nie oznacza, że różnią się o 2.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:08 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
No tak Vax, jak zwykle na posterunku. Dzięki za zwrócenie uwagi. To w takim razie jak rozwiązać to zadanie? Może dowód nie wprost?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Wystarczy zauważyć, że \frac{p+q}{2} jest całkowite i leży pomiędzy dwiema kolejnymi liczbami pierwszymi, więc jest liczbą złożoną, więc p+q = 2 \cdot \frac{p+q}{2} jest iloczynem co najmniej 3 liczb naturalnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:12 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Nie nadaję się chyba do matematyki :<...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:14 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
soulforged, nonsens, tylko Vax wymyśla takie rzeczy :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:16 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Szczecin
Po prostu nie wpadłbym na to za żadne skarby, czy tylko ja jestem taki ograniczony? :P
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 10:18 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Spoko wszystko z Tobą w porządku. Nie zawsze widzi się takie rzeczy. Ja też jestem chyba mocno ograniczony mimo, że jestem finalistą OMa :) Zdarza się.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 1040
Lokalizacja: Lublin/Warszawa
Pozostaje tylko zauważyć, że to zadanie pochodzi z Krowy, a rozwiązanie Vaxa jest rozwiązaniem firmowym. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 17:12 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Wybaczcie panowie, takie posty są zazwyczaj nie na miejscu, bo trącą czymś czym sam gardzę, ale ten post mam nadzieję będzie może wartościowy.

Otóż dla mnie to rozwiązanie było natychmiastowe, a nie mam takich osiągnięć jak bakala12, że o Vaxie już nie wspomnę. Jak widać czasem trzeba mieć po prostu farta by trafić na właściwą ścieżkę. soulforged czasem jak zadanie nie idzie, nie masz pomysłu i ogólnie jesteś już nieźle sfrustrowany, zostaw to zadanie, odłóż je na jutro, za tydzień czy jak tam wolisz. Podejdź do niego z inną głową, mniej/bardziej wyspany, po innym obiedzie, a nuż pomysł przyjdzie akurat wtedy. Przede wszystkim nie łam się. Poza tym w tym rozwiązaniu nie ma pomysłów z aż tak odległego Kosmosu :D analizuj sobie takie kosmiczne rozwiązania i próbuj rozkminić skąd te pomysły mogły przyjść. Tutaj nie jest przecież tak strasznie. Masz dwie kolejne liczby pierwsze, co oznacza, że wszystkie między nimi są złożone. Najoczywistszą liczbą pomiędzy dwiema jest ich średnia, tu szczęśliwie całkowita itd.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 8 lip 2013, o 21:22 
Użytkownik

Posty: 2027
Lokalizacja: Warszawa
Racja, Ponewor...
A poza tym (dla uzupełnienia Twojej wypowiedzi) zauważmy, że wszystkie odkrycia matematyczne polegają na tym, że ktoś wpadł na pomysł, na który nikt przed nim nie wpadł...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 12 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Suma liczb pierwszych  madzia_wawa  1
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl