szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2013, o 21:48 
Użytkownik

Posty: 202
Lokalizacja: PL
Udowodnić, że każdą liczbę naturalną n \ge 8 można zapisać jako n = 3k+5m, gdzie k i m są liczbami całkowitymi nieujemnymi.

Pierwszy krok indukcyjny, sprawdzamy dla n=8, mamy 8=3 \cdot 1+5 \cdot 1. Pomijam pisanie o założeniach itp. Pokażmy, że n+1=3p+5c, gdzie p i c są liczbami całkowitymi nieujemnymi. Korzystając z założenia będziemy mieli 3(k-p)+5(m-c)=-1.
Zauważamy, że możemy wziąć (1)\begin{cases} p=k+2 \\ c=m-1 \end{cases} lub (2)  \begin{cases} p=k-3 \\ c=m+2 \end{cases}. Tylko jak to zapisać, który układ liczb bierzemy by wygenerować nową? Wg. rozpiski to jest tak: 1,2,1,1,2,1,1,2,1,1,..., czyli schemat (1,2,1). Tylko problem z matematycznym zapisem... Proszę o pomoc.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lip 2013, o 22:01 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Każda liczba naturalna większa bądź równa 8 jest postaci 3a-1, 3a lub 3a+1 dla pewnego a\ge 3. Oczywiście też:
3a-1=3\cdot (a-2) + 5\cdot 1\\
3a= 3\cdot a + 5 \cdot 0\\
3a+ 1 =3\cdot (a-3) + 5\cdot 2

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 17 lip 2013, o 08:45 
Gość Specjalny

Posty: 3051
Lokalizacja: Gołąb
Cytuj:
Zauważamy, że możemy wziąć (1)\begin{cases} p=k+2 \\ c=m-1 \end{cases} lub (2) \begin{cases} p=k-3 \\ c=m+2 \end{cases}. Tylko jak to zapisać, który układ liczb bierzemy by wygenerować nową?

To zależy. Jeśli n=3k+5m to mamy następujące przypadki:
1. m \ge 1 wtedy bierzemy rozkład \left( 1\right)
2. m=0 wtedy bierzemy rozkład \left( 2\right)
Nietrudno pokazać, że biorąc takie rozkłady wszystko będzie dobrze i nic się nie zepsuje.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 22:31 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Problem Frobeniusa
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udowodnić metodą indukcji matematycznej  Siwy033  3
 udowodnić nierówność - zadanie 79  metalknight  3
 Liczba naturalna jako iloczyn liczb pierwszych  Arst  1
 Udowodnić że dla każdej liczby naturalnej n - zadanie 2  Piotrox  3
 Indukcja matematyczna - udowodnic  moczul  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl