szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 12:44 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: okolice Przemyśla
Treść zadania:
Cytuj:
Dowieść, że dla każdego n naturalnego liczba l _{n} = n ^{2} - n + 9 nie dzieli się przez 49.


Zadanie można rozwiązać poprzez indukcję matematyczną, ale także rozpisując w następujący sposób:
\left( n - 7\right) ^{2} + 14 \left( n - 7\right)  - \left( n - 7\right) + 51
i to wyrażenie kończy dowód. Ale dla mnie widocznie jest to niezrozumiałe, dlaczego to nie dzieli przez 49? Logiczne, że wystarczy udowodnić, że nie dzieli się przez 7, ale tutaj wiem tylko, że ta 14 dzieli się przez 7, a pozostałe? dlaczego zostały pogrupowane w wyrażeniach (n-7)?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 13:18 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Rozpisałem sobie i wyszło mi
\left( n - 7\right) ^{2} - 14 \left( n - 7\right) - \left( n - 7\right) + 51
  \neq  n^2-n+9.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 13:35 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: okolice Przemyśla
Poprawiłem, miał być plus przy czternastce.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 13:40 
Gość Specjalny

Posty: 5469
Lokalizacja: Toruń
n-7 daje taką samą resztę z dzielenia przez 7, co n, popatrz na to przez modulo, chyba wychodzi ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 13:54 
Gość Specjalny

Posty: 3010
Lokalizacja: Gołąb
Ja bym rozpisał inaczej a mianowicie:
n^{2}-n+9=\left( n+3\right)^{2}-7n
Stąd widać że to się dzieli przez 7 gdy n\equiv4\pmod{7} i mechaniczne sprawdzenie pokazuje, że nie jest możliwa podzielność przez 49
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 14:05 
Użytkownik

Posty: 1865
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
bakala12 napisał(a):
Ja bym rozpisał inaczej a mianowicie:
n^{2}-n+9=\left( n+3\right)^{2}-7n
Stąd widać że to się dzieli przez 7 gdy n\equiv4\pmod{7} i mechaniczne sprawdzenie pokazuje, że nie jest możliwa podzielność przez 49


Też szedłem tym tropem, ale mnie ubiegłeś :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 16:17 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Jeszcze inaczej. Załóżmy, że n^{2} - n + 9 dzieli się przez siedem. Wtedy przez siedem dzieli się też:
7 \mid n^{7}-n- \left( n^{5}+n^{4}-8n^{3}-17n^{2}+55n+208 \right) \cdot \left( n^{2} - n + 9 \right)  \Rightarrow 7 \mid -288n-1872  \Rightarrow 7 \mid 2n+13  \Rightarrow 7 \mid 2n-1 \Rightarrow n \equiv 4 \pmod{7}
i dalej trzeba ręcznie sprawdzić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 19:10 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Paris
Następny sposób: Znajdźmy wszystkie k \in \ZZ, dla których równanie n ^{2} - n + 9=49k ma rozwiązanie (n naturalne). Licząc pierwiastek z wyróżnika równania kwadratowego mamy: \sqrt{\Delta} = \sqrt{7(4 \cdot 7k-5)} (jaki z tego wniosek?).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 20:05 
Użytkownik

Posty: 84
Lokalizacja: okolice Przemyśla
wyrażenie 4 \cdot 7k - 5 musi być podzielne przez 7 do potęgi nieparzystej dodatniej, by wyróżnik był liczbą całkowitą. No i dalej, teraz pokombinować, że reszta z dzielenia jest zawsze 2, więc nie jest podzielne przez 7, co kończy dowód. Dobrze myślę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 lip 2013, o 20:19 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Tak.

Odnośnie mojego rozwiązania:
Niby zmieściło się w trzech, czterech linijkach, ale prawda jest taka, że po w międzyczasie trzeba było otrzymać wyrażenie n^{5}+n^{4}-8n^{3}-17n^{2}+55n+208, a jest ono wynikiem topornego dzielenia wielomianów n^{7}-n i n^{2}-n+9. Teraz już sprawa nie wygląda tak łatwo, bo łatwo, to jest tu jedynie o błąd rachunkowy. Można jednak poradzić to sobie inaczej. W zasadzie wynik dzielenia nie jest nam do niczego potrzebny - potrzebna nam jedynie reszta z dzielenia. Resztę z dzielenia łatwiej wyznaczyć, gdy wielomian przez który dzielimy ma miejsca zerowe.
7 \mid n^{2}-n+9  \Rightarrow 7 \mid n^{2}-n+9-21= \left( n-4 \right)  \left( n+3 \right)
Niech więc n^{7}-n= \left( n-4 \right)  \left( n+3 \right)  \cdot P \left( n \right)  + R \left( n \right), gdzie R \left( n \right) jest resztą z dzielenia czyli jest stopnia mniejszego niż w tym przypadku dwa. Zatem R \left( n \right) =an+b.
Mamy
n^{7}-n= \left( n-4 \right)  \left( n+3 \right)  \cdot P \left( n \right) =an+b
Raz wstawimy n=4, a raz n=-3 i otrzymamy 4a+b=4 \cdot 4095=4 \cdot 9 \cdot 5 \cdot 91 \wedge  -3a+b =-3 \cdot 728 = -1 \cdot 8 \cdot 3 \cdot 91 i teraz da się już w miarę łatwo policzyć a i b.



Jednak to mi nasunęło bardziej eleganckie rozwiązanie:
49 \mid n^{2}-n+9  \Rightarrow 7 \mid n^{2}-n+9  \Rightarrow 7 \mid n^{2}-n+9-21= \left( n+3 \right)  \left( n-4 \right)   \Rightarrow \\ 7 \mid n+3 \vee 7 \mid n-4  \Rightarrow \left( 7\mid n+3 \wedge 7 \mid n+3-7\right) \vee \left( 7 \mid n-4 \wedge 7 \mid n-4+7\right)  \Rightarrow 7 \mid n-4 \wedge 7 \mid n+3  \Rightarrow 49 \mid   \left( n+3 \right)  \left( n-4 \right)   \Rightarrow 49\nmid  \left( n+3 \right)  \left( n-4 \right) +21=n^{2}-n+9

Lub to samo zapisane nieco inaczej:
49 \mid n^{2}-n+9  \Rightarrow 7 \mid n^{2}-n+9  \Rightarrow 7 \mid n^{2}-n+9-21=\frac{ \left( 2n-1 \right) ^{2}-49}{4}  \Rightarrow \\ 7 \mid  \left( 2n-1 \right) ^{2} \Rightarrow  7\mid 2n-1 \Rightarrow 49 \mid  \left( 2n-1 \right) ^{2}  \Rightarrow 49 \mid  \frac{ \left( 2n-1 \right) ^{2}-49}{4}   \Rightarrow 49\nmid \frac{ \left( 2n-1 \right) ^{2}-49}{4}+21=n^{2}-n+9
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 641  kluczyk  1
 Podzielność przez iloczyn trzech liczb.  niepokonanytornister  1
 Podzielność przez 3 kolejnych liczb ciągu arytmetycznego  Stasze4  4
 ile licz podzielnych przez 15  breti  6
 Podzielność przez 8 - zadanie 11  Magdalenka17590  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl