szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2013, o 20:35 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Gdańsk
1^{3}+2 ^{3}+...+n ^{3}=\left(1+2+...+n \right) ^{2}=\left(  \frac{n\left( n+1\right) }{2} \right) ^{2}
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2013, o 21:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 6500
Lokalizacja: Kraków
Zasada indukcji matematycznej. Zacznij od drugiej równości.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2013, o 21:30 
Użytkownik

Posty: 1871
Lokalizacja: Staszów/Warszawa
Dodałeś do działu indukcja matematyczna więc:
Z: zachodzi dla n
T: zachodzi dla n+1
1+2^3+....+n^3+(n+1)^3=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2+(n+1)^3. Rozpisz to do końca.
Teraz rozpisz wyrażenie \left(\frac{(n+1)(n+2)}{2}\right)^2, zobaczysz że wyjdzie to samo.
Natomiast pokazanie
(1+2+...+n)^2=\left(\frac{n(n+1)}{2}\right)^2 jest oczywiste, bo suma w nawiasie to szereg arytmetyczny, którego suma jest znana i wynosi \frac{n(n+1)}{2}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 lip 2013, o 21:32 
Użytkownik

Posty: 73
Lokalizacja: Płock
Poprzez zaburzanie sumy zrobiłem. Tutaj jak coś masz świetnie wyjaśnione

http://www.matematyka.pl/258562.htm

U_n = \sum_{k = 0}^{n} k^4

U_n + (n + 1)^4 = 0^4 + \sum_{k = 1}^{n + 1} k^4 = \sum_{k = 0}^{n} (k + 1)^4 =

\sum_{k = 0}^{n} (k^4 + 4k^3 + 6k^2 + 4k + 1) =

U_n + 4S_n + 6\sum_{k = 0}^{n} k^2 + 4\sum_{k = 0}^{n} k + n + 1

gdzie S_n = \sum_{k = 0}^{n} k^3

więc

S_n =  \frac{1}{4}\left( (n + 1)^4 -  n(n + 1)(2n + 1) - 2n(n + 1) - (n + 1)  \right)

S_n =  \frac{1}{4}n^2(n + 1)^2

S_n =  \left(  \frac{n(n + 1)}{2} \right)^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 00:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Dowód "bez słów" umieszczony niedawno na facebookowym fanpage'u forum: link ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lip 2013, o 11:17 
Użytkownik

Posty: 64
Lokalizacja: Gdańsk
Dzięki wszystkim;)
Miało być na indukcji. Już widzę gdzie robiłem błąd. Jeszcze raz dzięki;)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 rozstrzygnij prawdziwość twierdzenia  dżi-unit  2
 Suma indeksowana, wykaż że...  Łukasz_1989  1
 Wykaż indukcją podzelność przez 3 reszty 2  Deamon  4
 wykaż podzielnośc przez 9 i 11  aanulaz  1
 Metodą indukcji matematycznej, wykaż że...  Peter Zof  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl