mmmkm napisał(a):
Przez punkt K położony wewnątrz trójkąta ABC poprowadzono trzy proste odpowiednio równolegle do boków trójkąta. Proste te podzieliły trójkąt na trzy równoległoboki i trzy trójkąty, przy czym pola tych trójkątów są równe a
2, b
2, c
2. Znaleźć pole trójkąta ABC.
(...)
Otóż weźmy pod uwagę tylko dwa trójkąty PRK (gdzie PR należy do AC) i NMK (gdzie NM należy do BC). W rozwiązaniu autor napisał ze stosunek

jest

(pole PRK=a
2 i pole NMK = b
2).
Zrobiłam sobie rysunek, na którym zaznaczyłam wszystkie punkty, o których piszesz, przy czym:
Punkty P i R leżą tak, że |AP|<|AR|, oraz punkty M i N leżą tak, że |BM|<|BN|.
Na boku AB oznaczyłam dwa wierzchołki trzeciego trójkąta D i E tak, że |AD|<|AE|.
Zaznaczyłam kąty równe:
kąt BAC = kąt BDN = kąt MPR = kąt MKN = kąt DKP
kąt ABC = kąt AER = kąt PMN = kąt PKR = kąt EKM
Teraz widać, że trójkąt ABC jest podobny do każdego małego trójkąta (a każde dwa małe też są podobne)
(skala podobieństwa figur podobnych)
2=stosunek pól tych figur
skala podobieństwa figur podobnych=stosunek odpowiednich boków tych figur
W tym zadaniu:
skala podobieństwa trójkątów PKR i KMN =

skala podobieństwa trójkątów PKR i KMN =

Stąd masz to, o co pytałeś.