szukanie zaawansowane
 [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 19:20 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Witam, proszę o pomoc (wiem że dużo postów i ani jednego "POMÓGŁ" ale postaram się odrobić po wakacjach w dziale dla liceum/gimnazjum - tylko tam mogę :-( a teraz tam mało co jest osób którym można pomóc):

Mamy:
f(x)= \frac{1}{x}
g(x)= x^{2}+1.

Obliczyć złożenie f \circ g.

Według mnie:
(f \circ g)(x)=f(g(x))=f(x^{2}+1)= \frac{1}{ x^{2}+1}
i D_{f \circ g}=R ,czyli x \in R

Ale gdzieś widziałem tak:
D _{f}=R  \setminus  \{0\}  \wedge D _{g}=R  \Rightarrow D _{f \circ g} = R  \setminus  \{0\}
Czyli dziedzina funkcji złożonej musi uwzględniać dziedziny funkcji składanych. Więc jak to jest :?:
A może nie powinienem ustalać dziedzin funkcji składanych, tylko ustalać od razu dziedzinę ostatecznej funkcji złożonej ?
Proszę o pomoc.

EDIT: A jak to będzie dla f\left[  f \left( x\right) \right]=x. Czy dziedzina to będzie R, a może R \setminus \left\{ 0\right\} :?:

EDIT2: Edytowałem symbol złożenia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 19:34 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
jumper4 napisał(a):
wiem że dużo postów i ani jednego "POMÓGŁ" ale postaram się odrobić po wakacjach w dziale dla liceum/gimnazjum - tylko tam mogę :-( a teraz tam mało co jest osób którym można pomóc:

Nie masz żadnego obowiązku pomagania ludziom. Jest to tylko i wyłącznie Twoja dobra wola. To forum nie wymusza na osobach piszących prośby o pomoc pomagania innym. Ale oczywiście jeśli czujesz się na siłach i masz chęć, to zapraszamy do pomocy innym :)

jumper4 napisał(a):
Według mnie:
(f \cdot g)(x)=f(g(x))=f(x^{2}+1)= \frac{1}{ x^{2}+1}
i D_{f \cdot g}=R ,czyli x \in R

Dziedziną złożenia jest dziedzina funkcji wewnętrznej. Ponadto zbiór wartości funkcji wewnętrznej powinien być podzbiorem dziedziny funkcji zewnętrznej, aby złożenie w ogóle było możliwe.

Twój wynik jest poprawny.
jumper4 napisał(a):
Ale gdzieś widziałem tak:
D _{f}=R  \setminus  {0}  \wedge D _{g}=R  \Rightarrow D _{f \cdot g} = R  \setminus  {0}
Czyli dziedzina funkcji złożonej musi uwzględniać dziedziny funkcji składanych. Więc jak to jest :?:

Jak wyżej. Dodatkowo zauważ, że f\circ g(0)=f(1)=1, a więc złożenie jest wykonalne, czyli na pewno 0\in D_{f\circ g}.
jumper4 napisał(a):
A może nie powinienem ustalać dziedzin funkcji składanych, tylko ustalać od razu dziedzinę ostatecznej funkcji złożonej ?

Ewidentnie nie rób tak.

P.S. Symbol złożenia to \circ
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 19:46 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Cytuj:
Nie masz żadnego obowiązku pomagania ludziom. Jest to tylko i wyłącznie Twoja dobra wola. To forum nie wymusza na osobach piszących prośby o pomoc pomagania innym. Ale oczywiście jeśli czujesz się na siłach i masz chęć, to zapraszamy do pomocy innym :)
Obowiązku w prawdzie nie ma, ale sam user, czyje się trochę jak pasożyt (o ile w ogóle ma jeszcze czasem takie odczucie, bo niektórzy uważają, że wszystko im się należy i nic w zamian). :wink: Także jak będzie możliwość to będę działał. :-)

Dzięki, a jak z tym:
f \left( x\right) =  \frac{1}{x}

f \circ f = f\left[ f \left( x\right) \right]=  \frac{1}{ \frac{1}{x} } = x.

Czy dziedzina to będzie R, a może R \setminus \left\{ 0\right\} :?:

Cytuj:
Dziedziną złożenia jest dziedzina funkcji wewnętrznej. Ponadto zbiór wartości funkcji wewnętrznej powinien być podzbiorem dziedziny funkcji zewnętrznej, aby złożenie w ogóle było możliwe.

(Cytuję, żeby nie było, że nie przeczytałem, ale mam wątpliwości).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 19:53 
Użytkownik

Posty: 22495
Lokalizacja: piaski
Ta druga.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 19:59 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
jumper4 napisał(a):
Czy dziedzina to będzie R, a może R \setminus \left\{ 0\right\} :?:

Doskonały przykład na to, że ustalanie dziedziny złożenia nie winno rozgrywać się poprzez złożenie funkcji oraz szukanie dziedziny tak powstałej funkcji. Wariant pierwszy mimo iż naturalny, jest błędny - nie da się policzyć f(0).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 21:37 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Teraz już na pewno kumam :-) Jeszcze pytanie na koniec.
yorgin napisał(a):
Dziedziną złożenia jest dziedzina funkcji wewnętrznej. Ponadto zbiór wartości funkcji wewnętrznej powinien być podzbiorem dziedziny funkcji zewnętrznej, aby złożenie w ogóle było możliwe.

Czyli można zapisać:
"Dziedzina złożenia jest częścią wspólną dziedziny funkcji wewnętrznej i zbioru jej wartości."

Czyli w uproszczeniu/skrócie : D _{f \circ g} = D _{g}  \cap Y _{g} :?:
(Będę tak zawsze pisał w rozwiązaniach i nie trzeba będzie myśleć tylko podstawić do "gotowca" :) )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 21:52 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
jumper4 napisał(a):
Czyli można zapisać:
"Dziedzina złożenia jest częścią wspólną dziedziny funkcji wewnętrznej i zbioru jej wartości."

Czyli w uproszczeniu/skrócie : D _{f \circ g} = D _{g}  \cap Y _{g} :?:
(Będę tak zawsze pisał w rozwiązaniach i nie trzeba będzie myśleć tylko podstawić do "gotowca" :) )

Teraz mylisz dwie rzeczy - warunek na to, by funkcje dało się złożyć oraz dziedzinę złożenia.

Dziedzina złożenia to zawsze dziedzina funkcji wewnętrznej. Innymi słowy D_{f\circ g}=D_g

Funkcje daje się złożyć, gdy zbiór wartości funkcji wewnętrznej jest podzbiorem dziedziny funkcji zewnętrznej. Inaczej f:X\to Y, g:V\to W to f(X)\subset V. Chociaż czasem zakłada się mocniejszy warunek, mianowicie Y\subset V ignorując w ten sposób zbiór wartości f(X).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lip 2013, o 22:39 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Czyli jak mamy:
f(x)= \frac{1}{x} \  \ \hbox{stąd} \ D _{f}: x \in R  \setminus  \left\{ 0\right\} \ \ \hbox{stąd} \ \ Y _{f}: y \in R  \setminus  \left\{ 0\right\}
g(x)= x^{2} \quad, czyli D _{g}: x \in R, oraz Y _{g}= \left\langle 0; \infty \right)
To:
D _{f \circ g}=D _{g}=R
Ale funkcji nie da się złożyć, ponieważ nieprawdą jest, że:
Y _{g}  \subset D _{f}
Ponieważ, "przeszkadza" brak \left\{ 0\right\} w dziedzinie D _{f} które jest w Y _{g} :?:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2013, o 08:06 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Zgadza się. Wtedy rzeczywiście nie istnieje f\circ g(0)=f(0) z racji braku \{0\} w dziedzinie funkcji f.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2013, o 09:53 
Administrator

Posty: 21365
Lokalizacja: Wrocław
yorgin napisał(a):
z racji braku \{0\} w dziedzinie funkcji f.

Raczej z racji braku 0 w dziedzinie funkcji f...

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2013, o 10:13 
Użytkownik

Posty: 39
Lokalizacja: Polska
Ale jak mam polecenie:
Określić funkcje złożone f \circ g, \ g \circ f .... oraz podać ich dziedziny, jeżeli:
f(x)= ...
g(x)= ...
To mam podać:
-dziedzinę funkcji f
-dziedzinę funkcji g
-złożenia tych funkcji f \circ g, a jeżeli złożenie nie istnieje z powodu tego, że zbiór wartości funkcji wewnętrznej nie zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej, czyli nieprawdą jest, że
Y _{g} \subset D _{f}
To ograniczyć dziedzinę złożenia funkcji D _{f \circ g} (czyli wszystkie argumenty x), tak, aby złożenie mogło istnieć :?:

Zbiory wartości wszystkich funkcji też lepiej napisać :?:

A może porostu napisać, że "się nie da" wykonać złożenia i spokój :?:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 lip 2013, o 19:21 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Jan Kraszewski napisał(a):
Raczej z racji braku 0 w dziedzinie funkcji f...

JK

Racja. Chyba myślałem o braku zawierania się :)


jumper4 napisał(a):
To mam podać:
-dziedzinę funkcji f
-dziedzinę funkcji g
-złożenia tych funkcji f \circ g, a jeżeli złożenie nie istnieje z powodu tego, że zbiór wartości funkcji wewnętrznej nie zawiera się w dziedzinie funkcji zewnętrznej, czyli nieprawdą jest, że
Y _{g} \subset D _{f}
To ograniczyć dziedzinę złożenia funkcji D _{f \circ g} (czyli wszystkie argumenty x), tak, aby złożenie mogło istnieć :?:

Zbiory wartości wszystkich funkcji też lepiej napisać :?:

A może porostu napisać, że "się nie da" wykonać złożenia i spokój :?:

Kolejno:
1. Treść zadania wymaga podania dziedziny złożenia. Podanie dziedzin funkcji f oraz g jest opcjonalnie, ale może być pomocne.

2. Jeśli nie da się złożyć funkcji, to póki zadanie tego nie wymaga, nie podajesz żadnego zbioru na którym złożenie istnieje. Piszesz wtedy, że złożenie jest niewykonalne lub coś w tym stylu.

Gdyby jednak zadanie wymagało - wtedy szukasz zawężenia dziedziny funkcji wewnętrznej tak, by złożenie było możliwe.

Spotkałem się z obiema wersjami zadań. Wszystko zależy od treści, do której musisz się dostosować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2013, o 00:08 
Użytkownik

Posty: 351
Lokalizacja: Warszawa
yorgin napisał(a):
Funkcje daje się złożyć, gdy zbiór wartości funkcji wewnętrznej jest podzbiorem dziedziny funkcji zewnętrznej. Inaczej f:X\to Y, g:V\to W to f(X)\subset V. Chociaż czasem zakłada się mocniejszy warunek, mianowicie Y\subset V ignorując w ten sposób zbiór wartości f(X).

W tym miejscu mowa o g\circ f?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 paź 2013, o 08:01 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
bob1000 napisał(a):
W tym miejscu mowa o g\circ f?

Tak.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2013, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 351
Lokalizacja: Warszawa
yorgin napisał(a):
Dziedzina złożenia to zawsze dziedzina funkcji wewnętrznej. Innymi słowy D_{f\circ g}=D_g

Nie zgodzę się z tym. Dziedzina złożenia to zbiór argumentów funkcji wewnętrznej dla których funkcja wewnętrzna przyjmuje wartości, które wchodzą w zbiór argumentów funkcji zewnętrznej. Jeżeli pewne elementy zbioru wartości funkcji wewnętrznej nie zawierają się w zbiorze argumentów funkcji zewnętrznej to dla tych wartości które się nie zawierają szukamy odpowiadające im argumenty funkcji wewnętrznej a następnie "wyrzucamy" je. Zbiór złożenia dwóch funkcji to dziedzina funkcji wewnętrznej pomniejszona o te argumenty. Niestety nie wiem jak to formalnie zapisać.
Podaję przykład:
Niech f(x)= x^{2}-1 dla x\in \RR oraz g(x)= \sqrt{x} dla x \ge 0. Wtedy (g\circ f)(x)= \sqrt{ x^{2}-1} dla x \ge 1 \vee x \le -1.
Zatem D_{g\circ f}=(-\infty;-1] \cup [1;\infty).
Dla tego złożenia dziedziną nie może być zbiór \RR.

-- 14 paź 2013, o 21:35 --

D_{g\circ f}= D_{f}  \Leftrightarrow  W_{f}= D_{g}
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 18 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl