szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Witam. Mam za zadanie udowodnić indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10^n + 4^n - 2 jest podzielna przez 3. Pomijam założenie i tezę indukcyjną, problem mam od tego momentu:
10^{k+1} + 4^{k+1} - 2 = 10^k  \cdot 10 + 4^k  \cdot 4 - 2 i tutaj mam problem, nie mogę wpaść na to jak to przekształcić żeby otrzymać jeden ze składników jak krok wcześniej: 10^k + 4^k - 2 = 3a.
Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
wskazówki: 10=9+1 \\
4=3+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:46 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Paris
Czy na pewno wskazówka Premislav odnosi się do dowodu za pomocą zasady indukcji matematycznej?

Co do zadania, są co najmniej dwie możliwości:

1) Twoja, czyli troszeczkę bezmyślne wojowanie z takich wyrażeniem. Pomnóż założenie przez 10 i potem dopełnij tak by otrzymać to czego szukasz.

2) Zdecydowanie prościej jest zauważyć, że 3|10^n-1 oraz 3|4^n-1, dwa szybciutkie dowody indukcyjne i koniec.

Choć tutaj najszybciej z kongruencji zapewne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:50 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12718
Lokalizacja: Kraków
dawid.barracuda napisał(a):
10^{k+1} + 4^{k+1} - 2 = 10^k  \cdot 10 + 4^k  \cdot 4 - 2 i tutaj mam problem, nie mogę wpaść na to jak to przekształcić żeby otrzymać jeden ze składników jak krok wcześniej: 10^k + 4^k - 2 = 3a.

Zapisz

4^k=3a+2-10^k

albo

10^k=3a+2-4^k

i podstaw do tego, co próbujesz wykazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 00:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Lagrange - wg tego co napisałeś mogę wyciągnąć wniosek, że suma dwóch liczb podzielnych przez 3 jest dalej podzielna przez 3 (co jest logiczne, bo 3a + 3b = 3(a+b)) i jeśli korzystam z indukcji to mogę udowodnić oddzielnie podzielność przez 3 tych dwóch składników, tak? I to będzie poprawny dowód dla całości zadania?

Dzięki yorgin - kombinuję teraz z wyrzucaniem przed nawias :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 00:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 12429
Lokalizacja: czasem Warschau, czasem Breslau
Lagrange napisał(a):
Czy na pewno wskazówka Premislav odnosi się do dowodu za pomocą zasady indukcji matematycznej?
A czemu nie?
Ukryta treść:    
Chociaż może istotnie przy wskazówce tej bardziej narzuca się rozwiązanie za pomocą kongruencji...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 00:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Aaa, teraz widzę Premislav o co Ci chodziło :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 18:31 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Paris
Premislav, teraz zrozumiałem co proponujesz. Twoja wskazówka skojarzyła mi się bardziej ze wzorem Newtona.

dawid.barracuda, a dlaczego by nie? Dowód w pełni poprawny. Oczywiście warto dodać to co napisałeś o podzielności sumy liczb.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 19:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1766
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Okej, dzięki uprzejmie za sugestie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Udwowodnij ze dla kazdej n, liczby są podzielne przez ...  fota  3
 Indukcja - podzielność liczby przez 14  inql  2
 Wykazać prawdziwość wzoru na liczbę dzielników liczby  marek252  1
 Kwadrat liczby pierwszej - zadanie 2  mole7  1
 Liczby pierwsze... - zadanie 2  sciema23  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl