szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 22:06 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Witam. Mam za zadanie udowodnić indukcyjnie, że dla każdej liczby naturalnej n liczba 10^n + 4^n - 2 jest podzielna przez 3. Pomijam założenie i tezę indukcyjną, problem mam od tego momentu:
10^{k+1} + 4^{k+1} - 2 = 10^k  \cdot 10 + 4^k  \cdot 4 - 2 i tutaj mam problem, nie mogę wpaść na to jak to przekształcić żeby otrzymać jeden ze składników jak krok wcześniej: 10^k + 4^k - 2 = 3a.
Proszę o wskazówki i pozdrawiam.
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sie 2013, o 22:14 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11157
Lokalizacja: Wrocław
wskazówki: 10=9+1 \\
4=3+1
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Paris
Czy na pewno wskazówka Premislav odnosi się do dowodu za pomocą zasady indukcji matematycznej?

Co do zadania, są co najmniej dwie możliwości:

1) Twoja, czyli troszeczkę bezmyślne wojowanie z takich wyrażeniem. Pomnóż założenie przez 10 i potem dopełnij tak by otrzymać to czego szukasz.

2) Zdecydowanie prościej jest zauważyć, że 3|10^n-1 oraz 3|4^n-1, dwa szybciutkie dowody indukcyjne i koniec.

Choć tutaj najszybciej z kongruencji zapewne.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 22:50 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
dawid.barracuda napisał(a):
10^{k+1} + 4^{k+1} - 2 = 10^k  \cdot 10 + 4^k  \cdot 4 - 2 i tutaj mam problem, nie mogę wpaść na to jak to przekształcić żeby otrzymać jeden ze składników jak krok wcześniej: 10^k + 4^k - 2 = 3a.

Zapisz

4^k=3a+2-10^k

albo

10^k=3a+2-4^k

i podstaw do tego, co próbujesz wykazać.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:13 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Lagrange - wg tego co napisałeś mogę wyciągnąć wniosek, że suma dwóch liczb podzielnych przez 3 jest dalej podzielna przez 3 (co jest logiczne, bo 3a + 3b = 3(a+b)) i jeśli korzystam z indukcji to mogę udowodnić oddzielnie podzielność przez 3 tych dwóch składników, tak? I to będzie poprawny dowód dla całości zadania?

Dzięki yorgin - kombinuję teraz z wyrzucaniem przed nawias :)
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 11157
Lokalizacja: Wrocław
Lagrange napisał(a):
Czy na pewno wskazówka Premislav odnosi się do dowodu za pomocą zasady indukcji matematycznej?
A czemu nie?
Ukryta treść:    
Chociaż może istotnie przy wskazówce tej bardziej narzuca się rozwiązanie za pomocą kongruencji...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 1 sie 2013, o 23:24 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Aaa, teraz widzę Premislav o co Ci chodziło :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 23
Lokalizacja: Paris
Premislav, teraz zrozumiałem co proponujesz. Twoja wskazówka skojarzyła mi się bardziej ze wzorem Newtona.

dawid.barracuda, a dlaczego by nie? Dowód w pełni poprawny. Oczywiście warto dodać to co napisałeś o podzielności sumy liczb.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 sie 2013, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 1764
Lokalizacja: Gryfice\Warszawa
Okej, dzięki uprzejmie za sugestie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zamiana n na n+1 czy dodanie kolejnej liczby  matinf  3
 Udowodnij, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej n...  szczylu  15
 Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej...  gerg  2
 udowodnić dla dowolnej liczby naturalnej podzielność przez 8  malynowa  2
 Znajdź wszystkie liczby n...  Desmondo  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl