szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2013, o 11:47 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Wrocław
Dzień dobry, mam ogromny problem z obliczeniem danych sum:

S_n =  \sum_{k \ge 1} \left\lfloor  \frac{n}{2^k} +  \frac{1}{2}  \right\rfloor
oraz
T_n =  \sum_{k \ge 1} 2^k \left\lfloor  \frac{n}{2^k} +  \frac{1}{2}  \right\rfloor ^2

Próbowałem porównywać kolejno wyrazy i zawsze dochodziłem do słabych wniosków, niewystarczająco pewnych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2013, o 16:21 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Podpowiem, że \left\lfloor \frac{n}{2^k} + \frac{1}{2} \right\rfloor = 0 gdy \frac{n}{2^k} + \frac{1}{2} <1, a więc gdy k> \log_{2}2n. Stąd:

S_n = \sum_{k \ge 1} \left\lfloor \frac{n}{2^k} + \frac{1}{2} \right\rfloor =  \sum_{ 1\le k\le \log_{2}(2n) } \left\lfloor \frac{n}{2^k} + \frac{1}{2} \right\rfloor
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 sie 2013, o 19:19 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Wrocław
Widzę, że porwałem się z motyką na Słońce. Mam tragiczne problemy w obliczeniu tej sumy. W ogóle nie mam pojęcia skąd autorzy książek biorą "genialne" pomysły na obliczanie konkretnych sum.

-- 16 sie 2013, o 21:17 --

Moje rozważania to:
\sum_{1 \le k \le \log_{2} (2n)} \lfloor \frac{n}{2^k} + 
\frac{1}{2} \rfloor = \sum_{1 \le k \le \log_{2} (2n)} \sum_{j} [ 1 \le j \le \frac{n}{2^k} +\frac{1}{2} ] = \\
 \sum_{j\ge1,k} [1 \le k \le \log_{2} \frac{n}{j - \frac{1}{2}} ] = \sum_{j} \lfloor \log_{2} \frac{n}{j - \frac{1}{2}} \rfloor

W ostatnim wierszu łatwo wyliczyć zakres j, jednak dalej wydaje mi się, że zatoczyłem koło ...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl