szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2013, o 13:44 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Polska
Udowodnij, że wśród 5 dowolnych liczba naturalnych znajdują się 3, których suma jest podzielna przez 3. Z góry dzięki za pomoc/ zadanie na poziomie rozszerzonej Matematyki na mat-fizie w 1 LO
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2013, o 14:07 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 499
Lokalizacja: x=213; y=33; z=79;
Na potrzeby zadania wyróżnijmy trzy rodzaje liczb naturalnych: oznaczmy literką k liczbę naturalną podzielną przez 3. Wówczas k+1 będzie liczbą, która przy dzieleniu przez 3 daje resztę 1, a k+2 daje resztę 2.

Jeśli weźmiemy takich pięć liczb, że co najmniej trzy z nich są tego samego rodzaju, to warunek będzie spełniony, np.:

k,k,k,k+1,k+2

Bierzemy trzy pierwsze k, dodajemy i, rzeczywiście, 3k jest podzielne przez 3. Tak samo będzie z k+1 i k+2.

Zatem sprawdźmy, co będzie, jeśli wśród tych pięciu liczb nie będzie trzech tego samego rodzaju. Okazuje się, że mamy tylko trzy takie możliwości:

1: k,k,k+1,k+1,k+2

2: k,k,k+1,k+2,k+2

3: k,k+1,k+1,k+2,k+2

W każdej z nich możemy znaleźć trzy takie liczby, których suma jest podzielna przez 3. Wystarczy, że dodamy do siebie k+(k+1)+(k+2)=3(k+1).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 wrz 2013, o 14:12 
Korepetytor

Posty: 1830
Lokalizacja: Katowice, Warszawa
Nie ulega wątpliwości, że mając pewną liczbę całkowitą, może ona dawać resztę 0, 1 lub 2 z dzielenia przez 3. Wystarczy zatem zapomnieć o tych liczbach, a popatrzeć jedynie na reszty, jakie one dają.

Mamy więc "zbiór", który ma 5 elementów i każdy z tych elementów to 0, 1 lub 2 czyli np \left\{ 0,1,2,0,2 \right\}.

Rozważmy więc dwie możliwości:

1) Istnieje liczba, która występuje w zbiorze trzy razy np \left\{ 0,0,2,0,2 \right\}. Wtedy wystarczy wziąć ją i suma odpowiadających jej liczb będzie podzielna przez 3.

2) Nie istnieje taka liczba, która występuje w tym zbiorze trzy razy. Wówczas każda z liczb 0,1,2 musi wystąpić w zbiorze co najmniej raz np. \left\{ 0,1,2,0,2 \right\}. Wtedy wystarczy wziąć te liczby, które odpowiadają resztom 0,1,2 i widać, że będzie to liczba postaci 3k+0 + 3m+1 + 3l+2 = 3(k+m+l+1) zatem podzielna przez 3.

up. byłeś szybszy, ale szkoda mi było już to kasować :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Sprawdz czy liczba jest złożona  Anonymous  6
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl