szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2013, o 15:07 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
Dowieść, że istnieje 2006 kolejnych liczb
naturalnych, z których każda ma co najmniej 2006
dzielników pierwszych.


Dowieść, że istnieje 2006 kolejnych liczb
naturalnych, z których każda jest podzielna przez
kwadrat liczby naturalnej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2013, o 19:23 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Łatwo pokazać, że dla dowolnego n naturalnego istnieje n kolejnych liczb złożonych. Na przykład takich:

(n+1)! +2,\\ (n+1)!+3, \\ ... \\
(n+1)!+(n+1).

Pierwsza dzieli się przez 2, druga przez 3 itd. Ostatnia przez n+1.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 13:39 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
Ale to chyba nie jest dowodem? Czy źle myślę?

-- 16 wrz 2013, o 14:43 --

Potrafi ktoś to zrobić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 15:37 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Pierwsze.
Niech p_{n} będzie ciągiem kolejnych liczb pierwszych. Oznaczmy przez S_{i} iloczyn \prod_{j=1}^{2006}p_{2006i+j}. Rozważmy układ kongruencji:
n+k \equiv 0 \pmod{S_{i}}, \ k=1,2,...,2006 czyli układ n \equiv -k \pmod{S_{i}}. Na mocy chińskiego twierdzenia o resztach ma on rozwiązanie. Zatem istnieje 2006 kolejnych liczb naturalnych z których każda ma co najmniej 2006 dzielników pierwszych.
Drugie podobnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 17:21 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
Czy mógłbyś pokazać jak używasz Chińskiego Twierdzenia tutaj?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 17:36 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Dobrałem liczby S _{i} tak, żeby każde składało się z iloczynu 2006-ciu różnych liczb pierwszych. Poza tym są one parami względnie pierwsze. Zatem zachodzą założenia z chińskiego twierdzenia o resztach, więc prawdziwa jest też teza, zatem istnieje liczba n, która spełnia nasz układ kongruencji. Biorąc tą liczbę n mamy liczby: n+1,n+2,...,n+2006, które są kolejnymi liczbami naturalnymi i każda ma co najmniej 2006 dzielników pierwszych.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4  Anonymous  11
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl