Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Podzielność

Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Strona 1 z 1

[ Posty: 6 ]

Autor

Wiadomość

GluEEE Offline

Tytuł: Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Napisane: 15 wrz 2013, o 16:07

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja

Dowieść, że istnieje 2006 kolejnych liczb
naturalnych, z których każda ma co najmniej 2006
dzielników pierwszych.

Dowieść, że istnieje 2006 kolejnych liczb
naturalnych, z których każda jest podzielna przez
kwadrat liczby naturalnej.

Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018

Góra

Adifek Offline

Tytuł: Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Napisane: 15 wrz 2013, o 20:23

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław

Łatwo pokazać, że dla dowolnego $n$ naturalnego istnieje $n$ kolejnych liczb złożonych. Na przykład takich:

$(n+1)! +2,\\ (n+1)!+3, \\ ... \\ (n+1)!+(n+1).$

Pierwsza dzieli się przez $2$ , druga przez $3$ itd. Ostatnia przez $n+1$ .

Góra

GluEEE Offline

Tytuł: Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Napisane: 16 wrz 2013, o 14:39

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja

Ale to chyba nie jest dowodem? Czy źle myślę?

-- 16 wrz 2013, o 14:43 --

Potrafi ktoś to zrobić?

Góra

bakala12 Offline

Tytuł: Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Napisane: 16 wrz 2013, o 16:37

Posty: 3047
Lokalizacja: Gołąb

Pierwsze.
Niech $p_{n}$ będzie ciągiem kolejnych liczb pierwszych. Oznaczmy przez $S_{i}$ iloczyn $\prod_{j=1}^{2006}p_{2006i+j}$ . Rozważmy układ kongruencji:
$n+k \equiv 0 \pmod{S_{i}}, \ k=1,2,...,2006$ czyli układ $n \equiv -k \pmod{S_{i}}$ . Na mocy chińskiego twierdzenia o resztach ma on rozwiązanie. Zatem istnieje 2006 kolejnych liczb naturalnych z których każda ma co najmniej 2006 dzielników pierwszych.
Drugie podobnie.

Góra

GluEEE Offline

Tytuł: Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Napisane: 16 wrz 2013, o 18:21

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja

Czy mógłbyś pokazać jak używasz Chińskiego Twierdzenia tutaj?

Góra

bakala12 Offline

Tytuł: Udowodnić podzielność. 2006 kolejnych liczb naturalnych.

Napisane: 16 wrz 2013, o 18:36

Posty: 3047
Lokalizacja: Gołąb

Dobrałem liczby $S _{i}$ tak, żeby każde składało się z iloczynu 2006-ciu różnych liczb pierwszych. Poza tym są one parami względnie pierwsze. Zatem zachodzą założenia z chińskiego twierdzenia o resztach, więc prawdziwa jest też teza, zatem istnieje liczba $n$ , która spełnia nasz układ kongruencji. Biorąc tą liczbę $n$ mamy liczby: $n+1,n+2,...,n+2006$ , które są kolejnymi liczbami naturalnymi i każda ma co najmniej 2006 dzielników pierwszych.

Góra

Poprzedni | Następny

	Strona 1 z 1	[ Posty: 6 ]

Strona główna Matematyka.pl » Matematyka - królowa nauk » Podstawy matematyki » Podzielność

Zobacz podobne tematy
Tytuł tematu	Autor	Odpowiedzi
(4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia	Anonymous	3
(4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10	Anonymous	4
Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko	pennywise	1
Udowodnić, że liczba jest niewymierna - zadanie 4	Anonymous	11
Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11	Anonymous	3

[Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]