szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 20:38 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Przyszło mi do głowy takie zadanie w związku z tym co wykładowca mówił nam kiedyś o liczeniu pola prostokąta. Mianowicie:
Dane są a>0,b>0 oraz funkcja f:[0,a]\times[0,b]\rightarrow\RR, taka że
\bigwedge\limits_{x\in [0,a]}\bigwedge\limits_{y\in [0,b]}f(x,b)+f(a-x,b)=f(a,y)+f(a,b-y)=f(a,b).
Pytanie brzmi: Czy jedyną taką funkcją jest funkcja dana wzorem f(x,y)=xy?
Czy ktoś się spotkał z czymś podobnym, czy to tylko moja wyobraźnia mi takie coś podsunęła?

PS. Nie wiem czy odpowiedni dział.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 wrz 2013, o 21:03 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17958
Lokalizacja: Cieszyn
Czyli generalnie w równaniu chodzi o to, że prostokąt możesz podzielić na dwa mniejsze (obojętnie czy w pionie czy w poziomie), dodać pola i otrzymać pole.

Mamy tu do czynienia z układem dwóch równań funkcyjnych. Zauważ, że równanie "poziome" f(x,b)+f(a-x,b)=f(a,b) jest równaniem o jednej zmiennej, albowiem b nie odgrywa w nim żadnej roli. Tak więc rozważyć należałoby tu równanie g(x)+g(a-x)=g(a). Spełnia je np. każda funkcja addytywna.

No to mam pomysł. Weźmy dowolne dwie funkcje addytywne A,B:\RR\to\RR i rozważmy f(x,y)=A(x)B(y). Funkcja ta spełnia Twój układ równań i niekoniecznie jest postaci iloczynu xy. Funkcje addytywne mogą być bardzo "dzikie". Nieciągła funkcja addytywna ma gęsty wykres (na płaszczyźnie).

Oczywiście nie rozwiązałem w pełni Twojego zagadnienia, tj. nie wyznaczyłem wszystkich funkcji spełniających ten układ równań. To pozostawiam Tobie. Informuję, że na razie nie znam odpowiedzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2013, o 13:10 
Użytkownik

Posty: 1446
Lokalizacja: Sosnowiec
Zapomniałem o jednej ważnej rzeczy. Załóżmy dodatkowo, że f jest nieujemna w całej dziedzinie. Podejrzewam, że wówczas jedynymi funkcjami, które to spełniają są funkcje postaci f(x,y)=cxy, gdzie c\ge0. Dobrze myślę?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 paź 2013, o 18:47 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17958
Lokalizacja: Cieszyn
Nie wiem czy dobrze, ale sensownie :)

Np. funkcja addytywna i ograniczona z góry bądź z dołu jest już ciągła, więc ma postać A(x)=cx. Dla Twojego równania może zachodzić podobne twierdzenie regularnościowe. Ale w tej chwili nie wiem czy to co piszesz, jest prawdą. Trzeba to zbadać.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Jak rozwiązać równanie?  gogoad  4
 równanie z parametrem - zadanie 12  basia  1
 Rownanie z dwiema niewiadomymi  cuube  1
 rownanie f okresowej  mol_ksiazkowy  2
 Krzywa i rownanie logistyczne <-- poszukuje materialow  xax82  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl