szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: dowód NWD
PostNapisane: 20 wrz 2013, o 10:14 
Użytkownik

Posty: 1068
Lokalizacja: Warszawa
Cześć :)
Udowodnij, że jeżeli liczby m i n są nieparzyste oraz m > n to
NWD \left( m, n \right)  = NWD \left( m-n, n \right)  = NWD \left( \frac{m-n}{2}, n \right)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: dowód NWD
PostNapisane: 20 wrz 2013, o 10:28 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
Pierwsza równość jest oczywista. Dowód, że NWD\left( m,n\right)=NWD\left(  \frac{m-n}{2}, n\right)
Niech d=NWD\left( m,n\right). Wtedy m=k \cdot d, \ n=l \cdot d, \ NWD\left( k,l\right)=1. Skoro m,n są nieparzyste, to k,l,d też. Mamy NWD\left(  \frac{k-l}{2},l \right)=NWD\left( k-l,l\right)=NWD\left( k,l\right)=1
Wyjaśnienia wymaga przejście pierwsze. Skoro l jest liczba nieparzystą to jak pomnożymy liczbę \frac{k-l}{2} przez 2 to NWD tych dwóch liczb się nie zmieni, bo jest on nieparzysty.
Zatem:
NWD\left( \frac{m-n}{2},n\right)=NWD\left(  \frac{k-l}{2}d,ld \right)=dNWD\left( \frac{k-l}{2},l\right)=d=NWD\left( m,n\right), co należało dowieść.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: dowód NWD
PostNapisane: 20 wrz 2013, o 16:32 
Użytkownik

Posty: 1068
Lokalizacja: Warszawa
dzięki wielkie Mateusz ;)
A możesz jeszcze uzasadnić tamtą pierwszą równość :)?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: dowód NWD
PostNapisane: 20 wrz 2013, o 16:48 
Gość Specjalny

Posty: 3009
Lokalizacja: Gołąb
tukanik, chodzi o to: NWD\left( m,n\right)=NWD\left( m-n,n\right)
Mamy:
NWD\left( m-n,n\right)=dNWD\left(  k-l,l \right)
Załóżmy, że e=NWD\left( k-l,l\right). Mamy:
e|k-l  \wedge e|l \Rightarrow e|k, a stąd e|NWD\left( k,l\right) \Rightarrow e|1 \Rightarrow e=1
I mamy:
NWD\left( m-n,n\right)=d=NWD\left( m,n\right)
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: dowód NWD
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 19:00 
Użytkownik

Posty: 1068
Lokalizacja: Warszawa
dzięki, powiedz mi jeszcze tylko czy dobrze sobie uzasadniam tą linijkę , ( skąd do "stąd" wynika ;) ):

Cytuj:
e|k-l \wedge e|l \Rightarrow e|k, a stąd e|NWD\left( k,l\right) \Rightarrow e|1 \Rightarrow e=1

Ponieważ e dzieli zarówno k i l, to z całą pewnością znajdzie się ono w rozkładzie na czynniki pierwsze NWD(k, l), a zatem będzie je też dzieliło.
pozdrawiam :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowod NWD - zadanie 2  dzejkej  5
 Dowód NWD - zadanie 4  takamatematyka  1
 dowód NWD  kasia67  1
 dowód - suma kolejnych 7 liczb podzielna przez 6  achojecka  8
 dowód niepodzielności przez 4  rhomcio  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl