szukanie zaawansowane
 [ Posty: 14 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
Okrąg o środku S i promieniu 1 jest styczny wewnętrznie do okręgów o równaniach x^{2}+ y^{2}=25 oraz (x-3) ^{2}+y ^{2}=9. Wyznacz współrzędne punktu S. (Na rysunku pokazane, że ma on się znajdować w I części układu współrzędnych.)

Obliczyłem współrzędne punktu przecięcia tych dwóch okręgów, ale nie wiem co dalej.
Proszę o wskazówkę do tego zadania.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 14:20 
Użytkownik

Posty: 89
Lokalizacja: Warszawa
To zrób może tak:

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

2. Wyznacz punkty przecięcia tej prostej przez okręgi - wyjdą 4 punkty 2 "zewnętrzne" i 2 "wewnętrzne". Zewnętrzne możesz odrzucić.

3. Wyznacz równania okręgów o środkach z p.2 i promieniu 1.

4. Wyznacz punkty przecięcia okręgów z p.3 - każdy z nich będzie szukanym środkiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 14:29 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
grejon napisał(a):
To zrób może tak:

1. Wyznacz równanie prostej przechodzącej przez środki tych okręgów.

2. Wyznacz punkty przecięcia tej prostej przez okręgi - wyjdą 4 punkty 2 "zewnętrzne" i 2 "wewnętrzne". Zewnętrzne możesz odrzucić.

3. Wyznacz równania okręgów o środkach z p.2 i promieniu 1.

4. Wyznacz punkty przecięcia okręgów z p.3 - każdy z nich będzie szukanym środkiem.
Dlaczego punkty przecięcia okręgów z p.3 miałyby być szukanym środkiem stycznego okręgu? Chyba, że czegoś nie zrozumiałem w Twoim wyjaśnieniu.

Wskazówka:

Zauważ, że środek S okręgu o promieniu 1 który jest styczny wewnętrznie do danego okręgu o środku S_{1} i promieniu r_{1} musi leżeć na okręgu o środku S_{1} i promieniu r_{1}-1

Wojoz napisał(a):
Na rysunku pokazane, że ma on się znajdować w I części układu współrzędnych.
Nie wiem czy chodzi o rysunek w podręczniku i należy założyć, że chodzi o rozwiązanie z I "ćwiartki", czy też chodzi o rysunek wykonany przez Ciebie, ale są dwa takie okręgi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 14:55 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
Daję link do zdjęcia zrobionego ze zbioru, to jest zadanie 11.
http://zapodaj.net/a44b16e26eefe.jpg.html
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 14:59 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
OK. Skorzystaj więc z mojej wskazówki i z dwóch otrzymanych rozwiązań (zauważ, że warunki zadania spełnia - oprócz okręgu narysowanego w podręczniku - także okrąg symetryczny względem osi OX) wybierz ten okrąg który jest narysowany w podręczniku. Czy podana przeze mnie wskazówka jest dla Ciebie zrozumiała?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 15:11 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
To, że mogłyby być 2 takie okręgi, symetryczny do osi OX rozumiem, ale tą wcześniejszą wskazówkę nie do końca. Chyba, że coś źle odczytuję, S1 to środek okręgu o współrzędnych (0,0), więc jak ma leżeć tamten okrąg na okręgu o promieniu 1 z tym środkiem, coś źle interpretuję...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 15:32 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
Wojoz napisał(a):
S1 to środek okręgu o współrzędnych (0,0), więc jak ma leżeć tamten okrąg na okręgu o promieniu 1 z tym środkiem, coś źle interpretuję...
Nie napisałem, że na okręgu o promieniu 1 tylko na promieniu r_{1}-1

Zauważ, że skoro okrąg o środku S ma być styczny wewnętrznie do tego największego okręgu o środku O, to punkt S musi leżeć na okręgu współśrodkowym do tego dużego okręgu i promieniu o jeden mniejszym (czyli promieniu równym 5-1=4 )niż ten duży okrąg.
Wiesz dlaczego? Wiesz jaka jest odległość |SO| ?
Jeżeli ten najmniejszy okrąg będziemy toczyć po wewnętrznej powierzchni największego okręgu, to jaką trasę zakreśli punkt S ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 15:53 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
Tak, teraz rozumiem, więc środek S ma współrzędne (x;  \sqrt{16-x ^{2} }. Teraz mam zamiar podstawić to do wzoru na odległość między dwoma punktami która równa jest 1 S i P(punkt przecięcia dwóch większych okręgów). Czy da się to tak rozwiązać?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:03 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
Nie. Zauważ, że punkt P (przecięcia okręgów) nie jest odległy o 1 od punktu S ponieważ, ten najmniejszy okrąg nie przechodzi przez punkt P (zerknij na rysunek).

Zauważ jeszcze jedną rzecz.
Skoro już widzisz, że punkt S ze względu na styczność wewnętrzną do największego okręgu leży na okręgu o równaniu:

x^2+y^2=16

to teraz zastanów się na jakim okręgu leży punkt S ze względu na styczność do średniego okręgu.

Będziesz miał równania dwóch okręgów do których należy punkt S , czyli ... (?)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:15 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
Czyli z układu równań
x ^{2}+y ^{2}-16=(x-3) ^{2}+y ^{2}-4
Wychodzi mi dobra odpowiedź, nie wiem jak mogłem wcześniej już tego nie zauważyć...
Bardzo dziękuję, za poświęcenie mi czasu :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:18 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
To co napisałeś to nie jest układ równań, tylko równanie z dwoma niewiadomymi.

Chyba chciałeś napisać tak:

\begin{cases} x^2+y^2=16 \\ (x-3)^2+y^2=4 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:24 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
Tak, właśnie tak próbowałem napisać w LaTeXie ale mi nie wychodziło dlatego zrobiłem z tego równanie i zapisałem tak jak wyżej.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:28 
Użytkownik

Posty: 4612
Lokalizacja: Racibórz
W dostępnych ikonkach po lewej stronie, układ równań jest w ostatniej kolumnie, na piątym miejscu od góry.

Zapis wygląda tak:

Kod:
1
\begin{cases} x^2+y^2=16 \\ (x-3)^2+y^2=4 \end{cases}
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 17
Lokalizacja: Polska
To już wiem, dlaczego nie działało, bo wpisywałem te równania pomiędzy ukośniki. Dzięki za wytłumaczenie mi tego.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 14 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Wyznacz liczbe okregów stycznych do osi X, Y oraz ...  Anonymous  1
 Wyznacz punkt przecięcia się prostej z okręgiem  Anonymous  5
 Wyznacz współrzędne wierzchołka równoległoboku  Anonymous  15
 Wyznacz wart. param. dla których ukł. jest liniowo zależ  Anonymous  3
 Równanie prostej przechodzącej przez 2 punkty  mnk  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl