szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:20 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Koszalin
Cześć to mój pierwszy post i zadanie tutaj liczę na rzetelną pomoc :)
Myślę nad tym zadaniem, ale nie wiem czy dobrze je robię

Tekst do zadania

Iloczyn dowolnej liczby niewymiernej x i liczby całkowitej k  \neq 0 jest liczbą niewymierną.

Dowód Załóżmy przeciwnie, że istnieją liczba niewymierna x oraz liczba cakłowita k \neq 0 takie że iloczyn k \cdot x jest liczbą wymierną.
Oznacza to, że istnieją liczby całkowite m i n takie że k \cdot x= \frac{m}{n}.
Wówczas x =  \frac{m}{k \cdot n}, z czego wynika, że x jest liczbą wymierną.
Otrzymaliśmy sprzeczność, a zatem iloczyn k \cdot x jest liczbą niewymierną.

Udowodnij, że :

a) iloczyn dowolnej liczby niewymiernej x i liczby wymiernej sorry w \neq x jest liczbą niewymierną

Moje zapiski

w \neq 0
x \cdot w= ? - liczba niewymierna

Zakładamy, że

x \cdot w = \frac{m}{n}
\frac{m}{n} to po prostu liczba wymierna
x =  \frac{m}{nw}  \Rightarrow x =  \frac{m}{n}
I tutaj zachodzi sprzeczność, bo x nie jest l. wymierną
Czy to wystarczy ?



b) suma dowolnej liczby niewymiernej x i liczby wymiernej w jest liczbą niewymierną

Moje zapiski

w \neq 0
x + w = ? - liczba niewymierna

Zakładamy że

x + w =  \frac{m}{n}
x =  \frac{m}{n}-w

x =  \frac{m}{n} I tutaj zachodzi sprzeczność, bo x nie jest l. wymierną

Czy te zapisy wystarczą, czy udowodniłem A i B ??
Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
a) iloczyn dowolnej liczby niewymiernej x i liczby niewymiernej w \neq x jest liczbą niewymierną

to nie jest prawda. (2-\sqrt{3})(2+\sqrt{3})=4-3=1

Cytuj:
Dowód Załóżmy przeciwnie, że istnieją liczba niewymierna x oraz liczba cakłowita k \neq 0 takie że iloczyn k \cdot x jest liczbą wymierną.
Oznacza to, że istnieją liczby całkowite m i n takie że k \cdot x= \frac{m}{n}.
Wówczas x =  \frac{m}{k \cdot n}, z czego wynika, że x jest liczbą wymierną.
Otrzymaliśmy sprzeczność, a zatem iloczyn k \cdot x jest liczbą niewymierną.

to jest ok.

Cytuj:
x = \frac{m}{n}-w

w sumie to rzeczywiście koniec dowodu, bo różnica dwóch wymiernych jest wymierna, ale najlepiej gdybyś to pokazał sprowadzając do wspólnego mianownika.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:38 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 321
Lokalizacja: Gówniak k. Bukowiny
Pierwsze dobrze.
Twierdzenie a) jest falszywe (pierwiastek z 2 i pierwiastek z 8).
Skad sie wzielo wynikanie x=\frac{m}{nw} \Rightarrow x= \frac{m}{n} ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:42 
Użytkownik

Posty: 120
KoszmarnyKarolek napisał(a):
x =  \frac{m}{nw}  \Rightarrow x =  \frac{m}{n}


Udowadniamy, że iloczyn liczby niewymiernej i wymiernej będzie zawsze liczbą niewymierną - musiałeś się przejęzyczyć :P

Formalnie rzecz biorąc, to jest źle, bo zakładasz, że w = 1, co nie jest prawdą, powinno być:

x =  \frac{m}{nw}, gdzie w =  \frac{k}{l}, gdzie m, \;n, \;k, \; l są liczbami całkowitymi.

Więc byłoby:

x =  \frac{ml}{kn}, oczywiście z tego wynika, że wyszła sprzeczność, bo iloczyn dwóch liczb całkowitych jest liczbą całkowitą ;)

Druga sprawa:

Tw. b)

zachodzi dla x, w > 0 (dlaczego?)

zakładamy, że m, \;n, \;k, \;l są liczbami całkowitymi, oraz w =  \frac{m}{n} wówczas:

w+x =  \frac{k}{l}, oraz:

x = \frac{k}{l} - w = \frac{k}{l} - \frac{m}{n} = \frac{kn - ml}{nl} - zinterpretuj już sam ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 16:52 
Użytkownik

Posty: 9
Lokalizacja: Koszalin
Czyli jeżeli x =  \frac{kn-ml}{nl} \Rightarrow x=  \frac{m}{n} Czyli po prostu jest wymierna dlatego zachodzi sprzeczność tak ? \frac{m}{n} to po prostu oznaczenie liczby wymiernej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 17:17 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
ucwmiu napisał(a):
zachodzi dla x, w > 0 (dlaczego?)

dlaczego? inaczej - czemu nie zachodzi dla np. x>0 \wedge w<0?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 120
...to było tak zwane pytanie na myślenie, żeby KoszmarnyKarolek sam sobie odpowiedział...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 wrz 2013, o 23:19 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
ucwmiu, chodzi mi o to, że pisząc
Cytuj:
zachodzi dla x, w > 0 (dlaczego?)
przynajmniej ja odnoszę wrażenie, że wg Ciebie suma liczby wymiernej i niewymiernej jest niewymierna wtedy i tylko wtedy, gdy obie te liczby są dodatnie. Co prawdą nie jest. (zresztą Twój dowód jest ogólny, więc tym bardziej nie rozumiem czemu wyszczególniłeś przypadek x,w>0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 22 wrz 2013, o 00:48 
Użytkownik

Posty: 120
Ok, moja pomyłka, dzięki - założenie o nieujemności jest zupełnie niepotrzebne. Przywidziało mi się coś jeżeli chodzi o dziedzinę tego ułamka, który jest na końcu dowodu - przepraszam, ciężki dzień :(
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 Udowodnij cechy podzielności przez 7 i 8  Anonymous  6
 (2 zadania) Suma cyfr liczby trzycyfrowej.  Anonymous  1
 Różnica cyfr pewnej liczby wynosi 5 ... Znajdź tę liczb  Tomasz B  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl