szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 wrz 2013, o 18:53 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Wrocław
Dla podanej liczby naturalnej k podać największą liczę całkowitą dodatnią d, dla której prawdziwe jest następujące zdanie:
Dla dowolnych liczb całkowitych m,n, jeżeli iloczyn mn jest podzielny przez k, to co najmniej jedna z liczb m,n jest podzielna przez d.
A. k=3^{5} \cdot 5^{3}
B. k=12^{2}

k|mn  \Rightarrow  d|m  \vee d|n

Coś mi świta, że to jakoś sprawiedliwie trzeba rozłożyć, ale nie mam pomysłu jak się zabrać do tego zadania, więc proszę o pomoc i jak najprostsze wyjaśnienie ;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2013, o 19:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
A. 3^3=27
B. 2^2=4

jak to zrobić? udowodnić, że to zdanie jest prawdziwe dla tych liczb, a następnie pokazać, że jak dołożymy więcej (na szczęście w obu przypadkach mamy tylko po dwa czynniki pierwsze), to da się znaleźć takie m i n, że zdanie będzie nieprawdziwe.

Przykładowo - pierwszy podpunkt. Mamy pewność, że któraś z liczb m i n będzie dzieliła się przez 3^3 (jeśli żadna by się nie dzieliła, to mamy sprzeczność, nie otrzymamy 3^5 w mnożeniu). Ale nie mamy też nic więcej - nie możemy powiedzieć, że któraś z m i n będzie dzieliła się przez 3^4 (przykład - m=3^3 \cdot 5^2, n=3^2 \cdot 5). Podobnie nie mamy gwarancji, że będzie dzielić się przez 3^3 \cdot 5 (przykład - m=3^3, n=3^2 \cdot 5^3). Z podobnego rozumowania dla drugiego czynnika pierwszego otrzymujemy, że na pewno będzie dzielić się przez 5^2=25. A że 27>25, mamy odpowiedź.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 09:35 
Użytkownik

Posty: 62
Lokalizacja: Wrocław
Dziękuję Ci bardzo! Teraz już wszystko jasne;)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 11:39 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
A 3^2 \cdot 5?

-- 24 wrz 2013, o 12:41 --

A poza tym. Jest podzielny przez k, więc może być wielokrotnością, nie?

-- 24 wrz 2013, o 12:44 --

I czy dla dowolnej liczby oznacza, że dla każdego podstawienia, tzn., że np. m=3^5 \cdot 5^3, n=1?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 12:04 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Oldj- Możesz mi wyjaśnić,czemu to nie będzie 12?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 13:58 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 135
Lokalizacja: Wrocław
Cytuj:
3^2 \cdot 5 ?

niech m=3^5 \wedge n=5^3 . Żadne z nich nie dzieli się przez 3^2 \cdot 5 , a warunki zadania spełnione.

Cytuj:
Oldj- Możesz mi wyjaśnić,czemu to nie będzie 12?

niech m=3^2 \wedge n=2^4 . Podobnie jak wyżej.

od razu wykluczyłem iloczyny różnych czynników (mogłem to napisać, fakt), bo można zawsze wziąć przypadek (I przykład) m=3^5, n=5^3 oraz (II przykład) m=2^4, n=3^2 ,więc zainteresowałem się od razu samymi potęgami pojedynczych czynników.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 14:01 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
aha. Już kumam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 14:28 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
Aha, mam wybrać takie d, dla którego dowolny iloczyn będzie działał?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 wrz 2013, o 06:53 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Tak, dzielący k
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 wrz 2015, o 21:19 
Użytkownik

Posty: 31
Lokalizacja: Ostrów Wlkp
Nie jestem ekspertem, ale wydaje mi się że w pierwszym przypadku największa liczba to będzie 125 .
1, 3^{5}\cdot 5^{3} \\
        3, 3^{4}\cdot 5^{3} \\
        3^{2}, 3^{3}\cdot 5^{3} \\
        3^{3}, 3^{2}\cdot 5^{3} \\
        3^{4}, 3\cdot 5^{3} \\
        3^{5}, 5^{3} \\
Co innego by było, gdybyśmy rozważyli następujący przypadek: k=7^{3}\cdot 41
1, 7^{3}\cdot 41 \\
               7, 7^{2}\cdot 41 \\
               7^{2}, 7\cdot 41 \\
               7^{3}, 41 \\
Tutaj w każdym wierszu występują liczby 1,7,41, oraz 49, a skoro ma być największa to odpowiedzią jeszcze 49.
........
Po chwili namysłu przypomniałem sobie, że mnożenie jest przemienne, w rezultacie:

1,  5^{3}\cdot 3^{5} \\
        5, 5^{2}\cdot 3^{5} \\
        5^{2}, 3^{3}\cdot 3^{5} \\
        5^{3}, 3^{2}\cdot 3^{5} \\

Więc największa liczba to27.


W sumie to mój post chyba nie wnosi nic nowego do dyskusji, więc jeżeli moderator uzna go za zbyteczny to śmiało proszę kasować :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Znajdź liczbę - zadanie 27  tito1977  3
 NWD(a,b)=6, NWW(a,b)=210. Znajdź a, b.  lukratyw123  2
 Znajdź wszystkie liczby pierwsze...  thorominth  2
 Wykaż że jeśli p jest liczbą pierwszą  akochmanska1  5
 Znajdź n jeśli suma dzielników jest równa 40  Nominalista  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl