szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2013, o 22:53 
Użytkownik

Posty: 174
Lokalizacja: ffff
Cześć!

\Phi \left( \frac{x + y}{2} \right)  = \frac{\Phi \left( x \right)  + \Phi \left( y \right) }{2}
Chciałbym znaleźć funkcje spełniające to równanie.
Jak zabrać się do takiego poszukiwania?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 wrz 2013, o 22:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 640
Lokalizacja: Bydgoszcz / Warszawa
Jakieś jeszcze warunki? Czy \Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R}? Podana równość ma zachodzić dla wszystkich x,y\in\mathbb{R}?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 09:45 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Zakładam, że f: \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} oraz jest funkcją ciągłą
Kładziemy:
y=0, \ i \ x=a+b i oznaczamy f \left( 0 \right) =c, \ c \in \mathbb{R}:
f \left( \frac{a+b}{2} \right) =\frac{f \left( a+b \right) +c}{2}
Z drugiej strony kładziemy x=a, \ y=b i dostajemy:
f \left( \frac{a+b}{2} \right) =\frac{f \left( a \right) +f \left( b \right) }{2}
Porównując te dwie równości mamy:
f \left( a+b \right) +c=f \left( a \right) +f \left( b \right)
Oznaczmy teraz g \left( x \right) =f \left( x \right) -c, oczywiście jest to funkcja ciągła. Mamy więc:
g \left( a+b \right) =g \left( a \right) +g \left( b \right)
To jest równanie funkcyjne Cauchy'ego, a jego rozwiązania (przy założeniu ciągłości) są takie:
g \left( x \right) =dx, \ d \in \mathbb{R}
Wracając z podstawieniem do funkcji f dostajemy rozwiązania:
f \left( x \right) =dx-c, a uwzględniając, że c \ i \ d są dowolnymi stałymi z \mathbb{R} dostajemy jako rozwiązania wszystkie funkcje liniowe. I istotnie łatwo się przekonać, że wszystkie funkcje liniowe spełniają nasze równanie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 13:46 
Użytkownik

Posty: 128
Dla funkcji ciągłych można na to spojrzeć korzystając z prostego faktu o wypukłości (wklęsłości).

Jeśli funkcja ciągła \Phi:\mathbb{R}\to\mathbb{R} spełnia dla dowolnych x,y\in\mathbb{R} warunek

\Phi \left( \frac{x + y}{2} \right) \le \frac{\Phi \left( x \right) + \Phi \left( y \right) }{2}\quad\left(\;\ge\;\right),

to jest wypukła (wklęsła).

Odnoszę jednak wrażenie, że istnieją też funkcje nieciągłe spełniające podane równanie.

-- 24 wrz 2013, o 14:52 --

Ostatnia myśl wyrażona jako przypuszczenie — dowodu nie mam.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 13:58 
Użytkownik

Posty: 7346
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Oczywiście. Można pokazać,że jeśli funkcja spełnia równanie Jensena i ciągła w jednym punkcie, to jest ciągła w każdym:). Popatrz na implikację odwrotną. To oznacza, że ta nieciągłość jest baaaaardzo duża. To dowodzi się z użyciem m.in aksjomatu wyboru.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 wrz 2013, o 14:03 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Kamaz napisał(a):
Odnoszę jednak wrażenie, że istnieją też funkcje nieciągłe spełniające podane równanie.
-- 24 wrz 2013, o 14:52 --
Ostatnia myśl wyrażona jako przypuszczenie — dowodu nie mam.
Zgadza się, dawno temu nawet był o tym (między innymi) wątek:
53385.htm

Q.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dowód nierówności Jensena  neworder  1
 nierówność Jensena  Mapedd  1
 Jak rozwiązać równanie?  gogoad  4
 równanie z parametrem - zadanie 12  basia  1
 Rownanie z dwiema niewiadomymi  cuube  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl