szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 19:36 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wadowice
Witam, muszę udowodnić, że suma

127^{127} + 67^{67}

tych dwóch liczb jest podzielna przez 10, wiem, że trzeba obliczyć końcówkę i to umiem, ale przy innych liczbach, a tutaj to się zaciąłem.

Proszę o pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 19:41 
Moderator

Posty: 10321
Lokalizacja: Gliwice
127^{127}=(120+7)^{127}

Powyższą liczbę można rozwinąć za pomocą dwumianu Newtona. Jednakże wszystkie wyrazy zawierające potęgę liczby 120 są nieistotne, ponieważ są podzielne przez 10 - pozostaje zatem 7^{127}. Podobną metodę można zastosować przy liczbie 67^{67} - wtedy do udowodnienia pozostanie podzielność liczby 7^{127}+7^{67}, a cyfrę jedności tych liczb można już łatwo wyznaczyć. Zamiast mówić końcówka, zalecam używać określenia cyfra jedności.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wadowice
Wybacz, ale nie rozumiem :D

Mam 15 lat, i pani zadała takie zadanie dla chętnych, potrzebuje Proste obliczenia. A pojęcie dwumian Newtona jest dla mnie wysoce obce :D
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 20:06 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Ja w Twoim wieku robiłem takie zadanie na zasadzie wyznaczania ostatniej cyfry danej liczby.

Zauważ, że ostatnimi cyframi kolejnych potęg są (kilka początkowych możesz wyliczyć na kalkulatorze)

127^1=12\red{7}

127^2=16\ 12\red{9}

127^3=2\ 048\ 38\red{3}

127^4=260\ 144\ 64\red{1}

Na końcu jest jedynka, więc zgadujemy, że kolejna potęga ma na końcu siódemkę, i tak istotnie jest:

127^5=33\ 038\ 369\ 40\red{7}

Zatem ostatnia cyfra powtarzać się będzie cyklicznie w następujący sposób:

1, 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, \ldots

Wystarczy teraz znaleźć cyfrę o numerze 127 w powyższym ciągu.

I dokładnie tak samo robisz z liczbą 67^{67}.

Przy okazji: na pewno ma być suma, a nie różnica ? Dla sumy nie działa, dla różnicy działa...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 20:19 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wadowice
Wiem, tak to też umiem, w zeszycie mam tak zapisane też ten ciąg i on się powtarza, nie będę 127 razy tego robił, bo też to wyjdzie. Mam udowodnić, że wyrażenie 127^{127} +67^{67} jest podzielne przez 10, ciąg liczb 67 to też: 7,8,3,1, ... więc suma tego wyrażenia nie jest podzielna przez 10, prawda ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 20:21 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Nie jest, to fakt, ale czy Ty to widzisz i potrafisz uzasadnić?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 wrz 2013, o 21:24 
Użytkownik

Posty: 4
Lokalizacja: Wadowice
No tak, tylko pani tak to mówiła, że mamy dowieść, iż faktycznie są podzielne. Tak czy owak, dziękuję za pomoc. :) Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 wrz 2013, o 08:28 
Użytkownik

Posty: 7345
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
kończyć będzie się na sześć...
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl