szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2013, o 19:51 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Warszawa
h: \RR \rightarrow \left[ 0,+ \infty \right), h(x)=\left| x\right|e ^{x}

Jak sprawdzić czy powyższa funkcja jest iniekcją? Wykresu takiej funkcji sam nie potrafię narysować, a wg Wolframa wygląda ona tak:
Obrazek

Wg odpowiedzi do zadania nie jest iniekcją, ale nie wiem jak to udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2013, o 20:22 
Użytkownik

Posty: 134
Lokalizacja: Kraków
Iniekcja: \forall_{x_1, x_2} \left f(x_1) = f(x_2) \Rightarrow x_1=x_2\right.

Z tego wykresu widać już, że nie jest. Funkcja dość ciężka ale jeśli zauważymy, że ta funkcja jest ciągła (wykładnicza), wartości przyjmuje nieujemne i osiąga f(0)=0 czyli swoje minimum to iniekcją być nie może.

Bardziej obrazowo i mniej matematycznie brzmiałoby to tak: skoro mamy funkcję ciągłą, wartości ma nieujemne i w pewnym momencie wykres dociera do 0 to nie ma już innej możliwości jak albo zostać w zerze albo z powrotem w górę - tak czy tak powtórzą się wartości które funkcja już osiągała w drodze do zera.

Aby funkcja ciągła była iniektywna musi być silnie monotoniczna (i nie może zmieniać monotoniczności), a tu widzimy, że tak nie jest (chociażby podając jako argument osiąganie minimum).
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2013, o 20:29 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Warszawa
Czyli nie da się znaleźć takich x _{1} i x _{2}, żeby móc określić f(x) dla tych argumentów i udowodnić, że jest taka sama dla obu? Wystarczy opisać to w ten sposób?:
Cytuj:
funkcja jest ciągła, wartości przyjmuje nieujemne i f(0)=0 czyli swoje minimum

Docent na ćwiczeniach mówił, że aby udowodnić, że funkcja nie jest iniekcją, trzeba znaleźć kontrprzykład, który nie spełnia zapisanego przez Ciebie warunku, ale tutaj jest to trudne albo nawet niemożliwe, prawda?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2013, o 22:02 
Użytkownik

Posty: 134
Lokalizacja: Kraków
Znalezienie kontrprzykładu to jeden ze sposobów pokazywania, że twierdzenie nie jest prawdziwe, ale w tym wypadku jak widać na wykresie argumenty które będą występować kilkakrotnie są ułamkami i coś czuję, że przynajmniej jeden będzie paskudnie niewymierny, więc faktycznie znalezienie ich może być praktycznie niemożliwe bez pomocy komputera. W takim przypadku myślę, że wystarczy samo udowodnienie (jak wyżej), że taki kontrprzykład na pewno istnieje - iniekcja nie zachodzi.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 paź 2013, o 22:47 
Użytkownik

Posty: 1471
Lokalizacja: Trójmiasto
zauważ,że:
f(x) = \begin{cases}
-\frac{x}{e^x} & x\le 0\\
xe^x & x\ge 0\end{cases}

iloraz jak i iloczyn dwóch funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą, można jeszcze pokazać dodatkowo, że
\lim_{x \to 0^-} -\frac{x}{e^x} = \lim_{x \to 0^+} xe^x

celem pokazania, że cała f(x) jest ciągła
teraz można zbadać monotoniczność w przedziałach (-\infty; 0), (0, +\infty)
na ujemnych masz iloraz funkcji malejącej -x przez rosnącą e^x który jest malejący
na dodatnich masz iloczyn rosnącej x z rosnącą e^x który jest rosnący
a skoro funkcja jest ciągła w całym \mathbb{R} i zmienia swoją monotoniczność, to nie może być iniekcją
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 paź 2013, o 15:15 
Użytkownik

Posty: 120
Lokalizacja: Warszawa
Dziękuję bardzo za obszerne wyjaśnienie, już jest jasne :)

Dodatkowo zapytałem docenta na zajęciach o ten przykład i powiedział, że wystarczy choćby narysować fragment wykresu tej funkcji i pokazać, że dla pewnej wartości odpowiadają dwa różne argumenty, bez podawania konkretnych kontrprzykładów.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zbiór wartości funkcji  the moon  1
 Wykresy funkcji, srodek odcinka  1exam  4
 Dowód funkcji monotonicznej ujemnej  Anonymous  3
 Składanie i parzystość funkcji-2 zadania.  qkiz  1
 Zbadac parzystosc i nieparzystosc funkcji  pangucio  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl