szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 paź 2013, o 21:12 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Rzeszów
Witam
Mam problem z zamianą postaci parametrycznej elipsy na postać uwikłaną.
Oto to cudo:
x \left( t \right) =1-\cos  \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin  \left( t \right)
y \left( t \right) =1-\sin  \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos  \left( t \right)

chyba powinno wyjść tak (graficznie widać ten sam wykres):
x ^{2}+y ^{2}- \sqrt{3} \cdot x \cdot y- \left( 2- \sqrt{3} \right)  \cdot  \left( x+y \right) +1- \sqrt{3}=0
Ale nie wiem jak do tego doszło. Proszę o pomoc jak to można ugryźć?

To pewnie nic nie pomoże ale jest to elipsa o środku w punkcie (1,1), półosie to a=1+ \sqrt{3},
b= \sqrt{3}-1 , elipsa pod kątem 45 stopni do osi OX.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2013, o 10:17 
Użytkownik

Posty: 331
Lokalizacja: Warszawa
jarekzulus napisał(a):
To pewnie nic nie pomoże ale jest to elipsa o środku w punkcie (1,1), półosie to a=1+ \sqrt{3},
b= \sqrt{3}-1 , elipsa pod kątem 45 stopni do osi OX.

Coś mi się nie zgadza. Sądzę, że niepoprawnie przepisałeś przykład. Gdzieś jest zły znak.

Ogólna parametryczna postać elipsy to:

x(t)=x _{0}+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha
y(t)=y _{0}+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha
gdzie \alpha - kąt głównej osi elipsy z osią X

Porównując Twoje wzory do postaci ogólnej moglibyśmy wyliczyć a, b,  \alpha
Ale wychodzą sprzeczności. Gdyby to wyglądało na przykład tak:
x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)
y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)

to
oczywiście (x _{0},y _{0})=(1,1)
a=-2
b=2
\alpha =60^\circ

Załóżmy, że mamy już poprawne a, b,  \alpha
Potrafimy napisać wzór kanoniczny elipsy nieobróconej ze środkiem w (0,0)
Potem ją obrócić i przesunąć. Lub na odwrót, w zależności jak chcemy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2013, o 11:56 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Rzeszów
Dzięki za wzory. Coś może z tym zrobię (przeliczę jeszcze raz, może źle określiłem kat), jednakże nie pomyliłem się we wzorach, są tam dwa minusy tj.

x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)
y \left( t \right) =1-\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)

Jeśli możesz pomóż z tym przekształceniem na kanoniczny bo coś mi nie idzie.

Z góry dzięki.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2013, o 12:01 
Użytkownik

Posty: 7361
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
a gdyby t=t- \pilub coś w tym stylu i wzorami rekurencyjnymi...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2013, o 12:31 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Rzeszów
Powermac5500 napisał(a):
jarekzulus napisał(a):

Ogólna parametryczna postać elipsy to:

x(t)=x _{0}+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha
y(t)=y _{0}+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha
gdzie \alpha - kąt głównej osi elipsy z osią X

Porównując Twoje wzory do postaci ogólnej moglibyśmy wyliczyć a, b,  \alpha
Ale wychodzą sprzeczności. Gdyby to wyglądało na przykład tak:
x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)
y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)

to
oczywiście (x _{0},y _{0})=(1,1)
a=-2
b=2
\alpha =60^\circ


Może się mylę ale a,b to chyba półosie elipsy to czemu wyszło ze a=-2??
nie powinny być dodatnie?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2013, o 13:15 
Użytkownik

Posty: 331
Lokalizacja: Warszawa
jarekzulus napisał(a):
Może się mylę ale a,b to chyba półosie elipsy to czemu wyszło ze a=-2??
nie powinny być dodatnie?


Masz rację, kombinowałem jak dobrać plusy i minusy by dało się rozwiązać, a nie pomyślałem o najprostszym :)
W każdym razie coś mi z tymi znakami nie pasowało.
a,b=2
\alpha =150^\circ
Teraz będzie pasować do układu z jednym plusem a nie samymi minusami
Tylko teraz jak dopuściłem do głosu myślenie to wynika mi, że to okrąg :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 paź 2013, o 19:33 
Użytkownik

Posty: 12
Lokalizacja: Rzeszów
Tam jest 2 minusy ;-) jak to rysuje w programie graficznym to ładnie widać. Ale problem pozostaje: Jak to przekształcić do postaci kanonicznej.

x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)
y \left( t \right) =1-\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)

A wracając do zadania z wyznaczeniem półosi to muszę rozwiązać taki to układ równań?
a\cos\left( t\right)  \cdot \cos\left(  \alpha \right) =-\cos\left( t\right)
-b\sin\left( t\right)  \cdot \sin\left(  \alpha \right) =- \sqrt 3  \sin\left( t\right)
a\cos\left( t\right)  \cdot \sin\left(  \alpha \right) =- \sqrt 3  \cos\left( t\right)
b\sin\left( t\right)  \cdot \cos\left(  \alpha \right) =- \sin\left( t \right)

Czy może coś pokręciłem, pytam bo mi jakieś głupoty wychodzą.

pozdrawiam

p.s.
Dla
x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)
y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)

(czyli jak jest plus i minus) mamy rzeczywiście koło o środku (1,1) i promieniu 2.

-- 16 paź 2013, o 12:51 --

Miele to na wszystkie sposoby ale guzik z tego wychodzi. Może coś zaradzicie

Wyszedłem od podstawowego wzoru:
x \left( t \right) = a \cdot cos \left( t \right)
y \left( t \right) = a \cdot \sin \left( t \right)

zakładając że:
a= \sqrt{3}+1
b= \sqrt{3} -1
Kąt obrotu 45

podstawiłem do
x(t)=x _{0}+a\cos t\cos \alpha -b\sin t\sin \alpha
y(t)=y _{0}+a\cos t\sin \alpha +b\sin t\cos \alpha
i puściuśkim do programu graficznego. Wyszło tak samo (wizualnie wiem ale jednak)

Ale jakoś nie umiem z jednego wzoru przejść do drugiego tj do (***):
x \left( t \right) =1-\cos \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \sin \left( t \right)
y \left( t \right) =1+\sin \left( t \right) - \sqrt{3} \cdot \cos \left( t \right)

Za wszelkie wskazówki stokrotne dzięki. A jeszcze bardziej za obliczenie a,b i kąta obrotu ze wzoru (***)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Zamiana zmiennych na współrzędne biegunowe  wlolas  2
 wyznaczyć zbiór punktów na płaszczyźnie (elipsa)  gonti  9
 Elipsa - współrzędne wierzchołków oraz ogniska  adi1910  4
 zmiana postaci prostej i płaszczyzny  Matlas  0
 Geometria analityczna - wektory i elipsa  MarianX  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl