szukanie zaawansowane
 [ Posty: 3 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2013, o 17:42 
Użytkownik

Posty: 928
Lokalizacja: Całkonacja
Jak udowodnić że liczba2^{6k+1}+9^{k+1} jest podzielna przez 11?

Chciałem coś wyrzucić przed nawias, ale się nie da :(.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2013, o 17:47 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z uwagi na 64\equiv 9 \pmod{11} mamy:
2^{6k+1} + 9^{k+1} = 2\cdot 64^k + 9\cdot 9^k \equiv 2\cdot 9^k + 9\cdot 9^k=11 \cdot 9^k \equiv 0 \pmod{11}

Alternatywnie: można użyć indukcji.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 paź 2013, o 17:51 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 17842
Lokalizacja: Cieszyn
Mimo, że przed momentem ukazało się rozwiązanie, przedstawiam swoje, oparte na identycznej idei. Niech czytelnik wybierze, która wersja bardziej mu pasuje. Osobiście uważam rozwiązanie -a za bardzo eleganckie.

Czasem jest tak, że dwóch ludzi pisze odpowiedź jednocześnie. Tak było tym razem.

Zapiszmy tak: 2\cdot (2^6)^k+9^{k+1}=2\cdot 64^k+9^{k+1}. W dzieleniu przez 11 ta liczba daje identyczną resztę, co 2\cdot(-2)^k+(-2)^{k+1} (bo 64 oraz 9 dają resztę-2). Ale

2\cdot(-2)^k+(-2)^{k+1}=-(-2)\cdot(-2)^k+(-2)^{k+1}=-(-2)^{k+1}+(-2)^{k+1}=0, więc liczba jest podzielna przez 11.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 3 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 (3 zadania) Wykaż, że liczby są podzielne przez ...  Anonymous  5
 (4 zadania) Sprawdz podzielność wyrażenia  Anonymous  3
 (4 zadania) Sprawdz podzielność liczb przez 10  Anonymous  4
 Czy podana liczba jest różnicą kwadratów 2 liczb calko  pennywise  1
 Udowodnij twierdzenie. Podzielność liczby przez 11  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl