szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2013, o 00:14 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Polska
Korzystając z zasady indukcji udowodnić, ze dla dowolnej liczby naturalnej n liczba \frac {5^n^+^1 +2  \cdot  3^n + 1}{8}  \in  Z jest podzielna przez 8

Skorzystam z własności liczb, jeśli wynikiem ilorazu \frac{p}{q}dla p  \in  Z i q = 8 będzie liczba całkowita to p jest podzielne przez 8

Oznaczmy T_{n} \frac {5^n^+^1 +2  \cdot  3^n + 1}{8} dla n  \in  Z

1. Baza indukcyjna

dla n=1

T = \frac{5^2 + 2 \cdot 3^1 + 1}{8} =  \frac{32}{8} = 4  \in  Z

n = 1 spełnia warunki

2. Krok indukcyjny (tutaj potrzebuje pomocy)


Weźmy dowolną k  \in N i załóżmy, że Z_{k} =  \frac{5^k^+^1+2  \cdot  3^k^ +^ 1^}{8} jest prawdziwe. Wykażemy, że T_{k+1} =  Z_{k+1}

Liczbę T_{k} = \frac{5^k^+^2 + 2  \cdot  3^k^+^1 +1}{8} można wyrazić w postaci \frac{25 \cdot 5^k + 6 \cdot 3^k + 1}{8} = ...

Nie wiem co mógłbym dalej zrobić.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 paź 2013, o 07:26 
Użytkownik

Posty: 1328
Ponieważ błędy lub logiczne niekonsekwencje pojawiają się w prawie każdym zdaniu, to, o ile liczysz na uzyskanie sensownej pomocy, sugeruję przeredagowanie powyższego posta poczynając od tego, co chciałbyś faktycznie udowodnić.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2013, o 08:37 
Użytkownik

Posty: 20
Lokalizacja: Polska
bosa_Nike napisał(a):
Ponieważ błędy lub logiczne niekonsekwencje pojawiają się w prawie każdym zdaniu, to, o ile liczysz na uzyskanie sensownej pomocy, sugeruję przeredagowanie powyższego posta poczynając od tego, co chciałbyś faktycznie udowodnić.


Przepraszam bardzo pisałem to późną porą i faktycznie było sporo błędów. Mam nadzieję, że poprawiłem wszystko co było źle. :wink:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2013, o 08:39 
Użytkownik

Posty: 7360
Lokalizacja: Z Bielskia-Białej
Miało chyba być, że jest całkowita...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 paź 2013, o 11:42 
Użytkownik

Posty: 453
Lokalizacja: Warszawa
Niech T_n=5^{n+1}+2 \cdot 3^n+1. Mamy udowodnić, że T_n \equiv_8 0 \text{ dla } n \in \mathbb{N} \setminus \left\{ 0\right\}.

T_1=32 \equiv_8 0

T_2=144 \equiv_8 0

Jeśli dla pewnego n: T_n \equiv_8 0, to:

T_{n+2}=25 \cdot 5^{n+1}+18 \cdot 3^n+1 \equiv_8 1 \cdot 5^{n+1}+2 \cdot 3^n+1 \equiv_8 T_n \equiv_8 0

Myślę, że to jest poprawne, bo gwarantuje poprawność dla wszystkich n parzystych i nieparzystych. A nic innego nie umiem wymyślić i nie wiem czy się da.

-- 20 paź 2013, o 18:48 --

Jeśli chcesz bez notacji modulo, to możesz zapisać też tak:

jeśli dla pewnego n:8|T_n to:
T_{n+2}=25 \cdot 5^{n+1}+18 \cdot 3^n+1=\left( 24+1\right) 5^{n+1}+\left( 16+2\right) 3^n+1=24 \cdot 5^{n+1}+16 \cdot 3^n + 5^{n+1} + 2 \cdot 3^n+1=8\left( 3 \cdot 5^{n+1}+2\cdot 3^n\right) + T_n
Skoro więc 8|T_n, to także 8|T_{n+2}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Podzielność przez 13 dla określonego wzoru - zadanie 2  mnich9131  4
 indukcja matematyczna - pytanie  ZIELONY  2
 Coś (chyba :P) z indukcja związane  jackass  4
 indukcja  Anonymous  1
 Podzielność przez 14 - indukcja  John Til  6
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl