szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2013, o 16:17 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Warszawa
Cześć,

Mam problem z poniższym zadaniem

Ciąg (a_{n}) zadany jest następującą zależnością rekurencyjną
\begin{cases} a_{1} = 3 \\ a_{2} = 8 \\ a_{n+2} = 3a_{n+1} - a_{n} &\text{dla} \ n \ge 1 \end{cases}
Udowodnij, że a_{n} \ge 2^{n}
Wskazówka. Warto udowodnić, że a_{n+1} > a_{n} dla n \ge 1

Spróbowałem rozwiązać zadanie, ale nie wiem czy dobrze.
Po zastosowaniu indukcji matematycznej wyszło mi tak:
dla n=1 \ \ \ \ 3= a_{1} \ge 2^{1} = 2
Założenie indukcyjne: a_{n} \ge 2^{n}
Teza indukcyjna: a_{n+1} \ge 2^{n+1} = 2^{n} \cdot 2
Założenie indukcyjne pomnożone przez 2: 2a_{n} \ge 2^{n}\cdot2
Trzeba udowodnić, że a_{n+1} \ge 2a_{n}

Powtórnie zastosowałem indukcję matematyczną
Założenie indukcyjne: a_{n+1} \ge 2a_{n}
dla n=1 \ \ \ \ 8= a_{2} \ge 2a_{1} = 2 \cdot 3 = 6
Teza indukcyjna: a_{n+2} \ge 2a_{n+1} \iff 3a_{n+1} - a_{n} \ge 2a_{n+1} \iff a_{n+1} \ge a_{n}
Podstawiłem założenie indukcyjne a_{n+1} \ge 2a_{n} > a_{n} W ten sposób obydwa twierdzenia zostały udowodnione

Czy takie rozwiązanie jest poprawne?

Z góry dziękuję za pomoc
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 paź 2013, o 21:12 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Zgadza się.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Rozwiązywanie nierówności indukcją  Filar  3
 Indukcja matematyczną z silnią  Rammar515  7
 Indukcja i podzielność  daroo1987  4
 Indukcja Matematyczna - Teoria  Robson1416  2
 indukcja,nierówność  likent10  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl