szukanie zaawansowane
 [ Posty: 9 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 16:39 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Łódź
Jak formalnie pokazać, że grupy addytywne (\RR,+) i (\CC,+) są izomorficzne? Jak pokazać formalnie istnienie takiego izomorfizmu?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 17:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków
Traktujemy te dwie grupy jako przestrzenie liniowe nad \QQ, wtedy obie mają wymiar \mathfrak{c} (dlaczego?). Zatem są izomorficzne jako przestrzenie liniowe, więc jako grupy również.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 20:30 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Łódź
(Z góry przepraszam jeśli nie będzie matematycznych symboli)

Postaram się odpowiedzieć dlaczego? Możemy przypuścić, że istnieje przeliczalna baza B=\left \{ e_{1},e_{2},... \right \} przestrzeni liniowej \RR nad \QQ z normą generowaną przez metrykę euklidesową. Wtedy rozważana przestrzeń jest przestrzenią Banacha zaś B można utożsamiać z bazą Schaudera (każda baza Schaudera jest zbiorem liniowo niezależnym). Wtedy dla dowolnego x z \RR istnieje dokładnie jeden ciąg skalarów a=(a_{1}, a_{2},...) taki, że x=\sum_{n \in N }a_{n}e_{n}. Ponieważ moc zbioru \RR jest \mathfrak{c} więc istnieje y \in \RR \setminus B, takie że y=\sum_{n \in N }a_{n}e_{n}. Ponieważ dla dowolnego n z N a_{n}\in Q więc a_{n}e_{n}\notin \RR \setminus B. Zatem \sum_{n \in N }(a_{n})e_{n} \notin R \setminus B. Sprzeczność. Baza B jest nieprzeliczalna.

Dlaczego możemy traktować te dwie grupy jako przestrzenie liniowe i dlaczego są izomorficzne jako przestrzenie liniowe?
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 21:29 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków
Nieprzeliczalność nie implikuje mocy \mathfrak{c}.
Niech B będzie bazą \RR nad \QQ. Wtedy \RR= \left\{ \sum_{b\in B}\alpha_b b:\alpha_b \in \QQ \mbox{ oraz } \alpha_b=0 \mbox{ dla prawie wszystkich }b\in B \right\}.
Łatwo widać, że skoro |\QQ|=\aleph_0 to \mathfrak{c}=|\RR|\leq |B|\aleph_0 |B|=|B|.
Tak samo dla \CC. Mamy zatem dwie przestrzenie liniowe tego samego wymiaru...

Raczej nie polecam mieszać do tego bazy Schaudera.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 22:44 
Użytkownik

Posty: 32
Lokalizacja: Łódź
Znane jest mi twierdzenie, że wszystkie przestrzenie liniowe o skończonym wymiarze nad tym samym ciałem K są izomorficzne. Gdyby twierdzenie działało dla przestrzeni o nieskończonym ale tym samym wymiarze, to wtedy jak sądzę grupy byłyby izomorficzne, gdyż izomorficzne są odpowiednie przestrzenie liniowe.
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 23:06 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4977
Lokalizacja: Kraków
Tak, działa też. Izomorfizm konstruujemy tak, że przeprowadzamy bazę na bazę i rozszerzamy do odwzorowania liniowego w jedyny sposób
Góra
Mężczyzna Offline
 Tytuł: Izomorfizm grup
PostNapisane: 31 paź 2013, o 23:26 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3987
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Popescu napisał(a):
(Z góry przepraszam jeśli nie będzie matematycznych symboli)

Postaram się odpowiedzieć dlaczego? Możemy przypuścić, że istnieje przeliczalna baza B=\left \{ e_{1},e_{2},... \right \} przestrzeni liniowej \RR nad \QQ z normą generowaną przez metrykę euklidesową. Wtedy rozważana przestrzeń jest przestrzenią Banacha zaś B można utożsamiać z bazą Schaudera (każda baza Schaudera jest zbiorem liniowo niezależnym).


Nie! Tak nie można bo nie masz pod ręką teorii przestrzeni Banacha nad ciałami niezupełnymi. Ten dowód jest całkowicie algebraiczny; użyj baz Hamela.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 21 sty 2018, o 18:42 
Użytkownik

Posty: 3
Lokalizacja: warszawa
Czy mógłby ktoś jeszcze raz dokładnie napisać dlaczego są izomorficzne ?? I jaki to jest izomorfizm?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 sty 2018, o 14:15 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3987
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Kraków
Wystarczy pokazać, że grupy te są izomorficzne jako przestrzenie liniowe nad ciałem liczb wymiernych.

Najpierw należy zauważyć, że wymiar \lambda przestrzeni \mathbb R nad \mathbb Q jest nieskończony, co wynika z nieprzeliczalności \mathbb R (wymiar ten wynosi dokładnie continuum, ale nie jest to istotne tutaj).

Następnie zauważamy, że wymiar \mathbb C nad \mathbb Q jest taki sam jak wyżej, ponieważ wymiar \mathbb C nad \mathbb R wynosi 2, a więc on sam jest równy 2\cdot\lambda = \lambda (wzór ten zachodzi dla każdej nieskończonej liczby kardynalnej).

Ostatecznie używamy faktu, że dwie przestrzenie liniowe nad tym samym ciałem o tym samym wymiarze są ze sobą izomorficzne.

Uwaga. Zadania nie da się rozwiązać konstruktywnie. Istotnie, C.J. Ash udowodnił w 1973, że jeżeli istnieje izomorfizm pomiędzy tymi grupami, to istnieje także zbiór niemierzalny na prostej. Istnieją modele teorii mnogości ZF bez zbiorów niemierzalnych.

Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 9 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Izomorfizm grup - zadanie 4  spajder  2
 izomorfizm grup - zadanie 42  madlene  1
 Izomorfizm grup - zadanie 33  Arytmetyk  1
 izomorfizm grup - zadanie 18  ami821  8
 izomorfizm grup - zadanie 20  Anonymous  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl