szukanie zaawansowane
 [ Posty: 8 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 15:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Znajdź wszystkie funkcje f(x) spełniające równanie \left( x-1 \right) f \left( x \right) +f \left(  \frac{1}{x} \right) =\frac{1 }{x-1} \wedge x \in  \left( 0;1 \right)

Jakiś sposób?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 15:27 
Użytkownik

Posty: 331
Lokalizacja: Warszawa
Od razu powiem, że nigdy czegoś takiego nie robiłem, ale zabrałbym się od pochodnej obydwóch stron równania.

Pozbędziemy się
f\left( \frac{1}{x}\right)

bo jest to funkcja złożona

f'\left( \frac{1}{x}\right)=f'(x) \cdot \left( \frac{1}{x}\right)'

Wyjdzie chyba jakieś równanie różniczkowe, gdzie będziemy mieli f(x), f'(x) i jakąś kombinację x
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 15:34 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Powermac5500 napisał(a):
f' \left(  \frac{1}{x} \right) =f' \left( x \right)  \cdot \left( \frac{1}{x}\right)'
Przecież:
\left( f\left( \frac 1x\right) \right) ' = f'\left( \frac 1x \right) \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right)
więc taki sposób nic nam nie da.

A co do zadania...
Cytuj:
\left( x-1 \right) f \left( x \right) +f \left( \frac{1}{x} \right) =\frac{1 }{x-1} \wedge x \in \left( 0;1 \right)
...to coś tu jest nie tak, bo jeśli ma być f:  \left( 0,1 \right)  \to \mathbb{R}, to w tej równości dla dowolnego x jedna z liczb: x i \frac 1x nie należy do dziedziny, więc powyższe równanie nie ma sensu.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 15:41 
Użytkownik

Posty: 331
Lokalizacja: Warszawa
Qń napisał(a):
Przecież:
\left( f\left( \frac 1x\right) \right) ' = f'\left( \frac 1x \right) \cdot \left( -\frac{1}{x^2}\right)
więc taki sposób nic nam nie da.


Masz rację, coś mnie zaćmiło.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 16:41 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 631
Lokalizacja: Kraków
A może dziedzina to rzeczywiste bez 0 i 1 ? To wtedy można chyba tak:

\left( x-1 \right) f \left( x \right) +f \left( \frac{1}{x} \right) =\frac{1 }{x-1}

Podstawiamy ->  x = \frac{1}{x} \\
\\
\left( \frac{1}{x}-1 \right) f \left( \frac{1}{x} \right) +f \left( x \right) =\frac{1 }{\frac{1}{x}-1} \\
\\
\left( \frac{1-x}{x} \right) f \left( \frac{1}{x} \right) +f \left( x \right) =\frac{1 }{\frac{1-x}{x}}\\
\\
\left( \frac{1-x}{x} \right) f \left( \frac{1}{x} \right) +f \left( x \right) =\frac{x}{1-x}\\
\\

Dodajemy teraz to co nam wyszło z początkowym równaniem i mamy:

f\left(x\right) + (x-1)f\left(x\right) + \left(\frac{1-x}{x}\right)f\left(\frac{1}{x}\right)+f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x-1} + \frac{x}{1-x}\\
\\
(1+x-1)f\left(x\right)+\left(\frac{1-x}{x}+1\right)f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x-1} - \frac{x}{x-1}\\
\\
x\cdot f(x) + \frac{1}{x} \cdot f \left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1-x}{x-1}\\
\\
x\cdot f(x) + \frac{1}{x} \cdot f \left(\frac{1}{x}\right) = -1

Otrzymujemy układ:

\begin{cases} (x-1)f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x-1} \\ x \cdot f(x) + \frac{1}{x} \cdot f\left(\frac{1}{x}\right) = -1\end{cases}

Mnożymy drugie równanie przez x i mamy:

\begin{cases} (x-1)f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{1}{x-1} \\ x^{2} \cdot f(x) + f\left(\frac{1}{x}\right) = -x\end{cases}

Odejmujemy pierwsze od drugiego i mamy

(x^{2}-x+1)f(x) = -x - \frac{1}{x-1}\\
\\
(x^{2}-x+1)f(x) = \frac{-x(x-1)-1}{x-1}\\
\\
(x^{2}-x+1)f(x) = \frac{-x^{2}+x-1}{x-1}\\
\\
(x^{2}-x+1)f(x) = \frac{-(x^{2}-x+1)}{x-1} / :(x^{2}-x+1)\\
\\
f(x) = \frac{-1}{x-1} = - \frac{1}{x-1}

Mam nadzieję, że dobrze, bo ja tak bym to zrobił. Ale najlepiej gdyby ktoś to jeszcze zweryfikował
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:10 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Qń napisał(a):
... to w tej równości dla dowolnego x jedna z liczb: x i \frac 1x nie należy do dziedziny, więc powyższe równanie nie ma sensu.

I chyba tu jest haczyk, dzięki za pomoc:)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ja myślę, że autorowi zadania chodziło raczej o wersję przedstawioną przez AloneAngel - i wtedy pokazana idea rozwiązania jest prawidłowa.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:27 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Może chodziło, ale jest napisane jak jest więc tak rozwiązujemy :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 8 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Obliczyć funkcje - zadanie 3  Jarrett  8
 Wyznaczyć funkcję odwrotną  Marcin_n4  4
 Które zdania opisują funkcję?  nogiln  1
 Funkcje, poziom podstawowy  krisu21  1
 funkcje uwikłane - zadanie 5  thomson  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl