szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 16:55 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3269
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Witam.
Męczę sie juz dłuższy czas z formalnym pokazaniem, że funkcja

f\left( x\right)=\left[ x\right]-\left\{ x\right\}

jest różnowartościowa.

Próbowałem od założenia, że jest tzn.

\forall_{x_{1}, x_{2}}  f\left( x_{1}\right) = f\left( x_{2}\right)  \Rightarrow  x_{1}= x_{2}

\left[ x_{1}\right]-\left\{ x_{1}\right\} =  \left[ x_{2}\right]-\left\{ x_{2}\right\}

po przekształceniu:

2\left( \left[ x_{1}\right]- \left[ x_{2}\right]  \right)=x_{1}-x_{2}

Jak pokazać, że jeżeli zachodzi powyższa równość to: x_{1}=x_{2}

Pozdrawiam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:31 
Użytkownik

Posty: 1568
Lokalizacja: Ostrzeszów/Wrocław
Spróbuj inaczej (przez kontrapozycję):

x_1 \neq x_2  \Rightarrow f(x_1) \neq f( x_2 ).

Wtedy pójdzie łatwo.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:34 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Skoro:
\left[ x_{1}\right]-\left\{ x_{1}\right\} = \left[ x_{2}\right]-\left\{ x_{2}\right\}
to:
\left[ x_{1}\right]- \left[ x_{2}\right]= \left\{ x_{1}\right\}-\left\{ x_{2}\right\}

Po lewej stronie mamy liczbę całkowitą, więc po prawej też. Ale po lewej mamy różnicę dwóch liczb należących do przedziału [0,1), a taka różnica musi należeć do przedziału (-1,1). A w tym przedziale jedyną liczbą całkowitą jest zero - stąd wniosek, że prawa strona równości jest zerem, a zatem także lewa. Skoro więc x_1 i x_2 mają taką samą część całkowitą i część ułamkową, to są równe, co kończy dowód.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:37 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
Trochę inne podejście:

Niech x_1\neq x_2. Jeżeli [x_1]>[x_2], to również [x_1]-\{x_1\}>[x_2]\geq[x_2]-\{x_2\} Niech więc [x_1]=[x_2]. Dalej już łatwo, gdyż x_1\neq x_2 i [x_1]=[x_2] implikuje, że \{x_1\}\neq \{x_2\}.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 20:14 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3269
Lokalizacja: Brodnica/Toruń
Pięknie dziekuje Panowie.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja odwrotna i różnowartościowość - zadanie 2  Geoqks  2
 Różnowartościowość funkcji - zadanie 20  yoana91  18
 Różnowartościowośc funkcji - zadanie 23  Cocain23  9
 Roznowartosciowosc  author  1
 różnowartościowość z wartością bezwzględną  piotr90  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl