szukanie zaawansowane
 [ Posty: 10 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:48 
Użytkownik

Posty: 6
Witajcie. Mam takie jedno zadanko i nie wiem jak je zrobić.

Na bokach AB, BC, AC trójkąta ABC obrano odpowiednio punkty M, N, P tak, że \frac{|AM|}{|MB|} = \frac{|BN|}{|NC|} = \frac{|PC|}{|PA|} = k, gdzie k>0. Wyznacz k, jeśli wiadomo, że pole trójkąta MNP stanowi \frac{7}{25} pola trójkąta ABC .

Mam problem z tym zadaniem. Oznaczyłem sobie odcinki AM, MB, BN, NC, CP, PA odpowiednio kx, x, ky, y, kz, z. Przy wierzchołkach A, B, C, umieściłem odpowiednio kąty: \alpha, \gamma, \beta. Udało mi się dojść do tego że: P_{ABC} = 0,5  \cdot  y^2  \cdot  \sin \beta  \cdot  (k+1) ^ 2. Z moich obliczeń wynikało że 0,5 \cdot k \cdot y^2 \cdot \frac{\sin \gamma  \cdot  \sin \beta}{\sin \alpha} = P_{MNB} = P_{PCN} = P_{APM}  \cdot  \sin \alpha .

Tylko nie wiem co teraz zrobić dalej i czy wogóle to co obliczyłem mi się przyda. Jeśli można całość zrobić jakimś ciekawym wzorkiem, to byłbym wdzięczny za wskazanie go.

Za wszelką pomoc z góry dziękuję. :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:52 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
http://en.wikipedia.org/wiki/Routh%27s_theorem
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 20:06 
Użytkownik

Posty: 6
Co mi daje to twierdzenie w tym zadaniu? Przecież trójkąt wg treści zadania dotyka wierzchiłkami do ścian większego trójkąta. Przez to, nawet po skruceniu długości RF, PD, QE z obrazku trójkąta z wikipedii do zera i tak to nie wyjdzie, bo proste nie będą wychodziły z wierzchołków.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 20:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 2909
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Tak, ale możesz wyprowadzić podobny wzorek dla pola trójkąta \triangle MNP, a konkretnie:

\frac{[MNP]}{[ABC]} = \frac{xyz+1}{(x+1)(y+1)(z+1)}

gdzie x,y,z to oznaczenia jak w poprzednim linku. W naszym zadaniu x=y=z=k i przyrównujesz do \frac{7}{25}

Wychodzi ,,ładne" k.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 20:34 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Po polsku http://www.deltami.edu.pl/temat/matematyka/geometria/planimetria/2012/02/28/Co_moga_nam_dac_ciezary_i_wypory/
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 20:55 
Użytkownik

Posty: 6
A da się jakoś inaczej obliczyć te pierwiastki równania sześciennego?? Bo żaden mój kalkulator z tym nie daje sobie rady ;(
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 21:01 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Jak już zrobisz z tego ładne równanie sześcienne, to użyj twierdzenia o pierwiastkach wymiernych.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 23:11 
Użytkownik

Posty: 6
Skad sie wzial ten wzor? Nie wiem jak go wyprowadzic z tego twierdzenia Routh'a.
\frac{[MNP]}{[ABC]} = \frac{xyz+1}{(x+1)(y+1)(z+1)}


Dobrze powiedziales ze wychodzi ladnie to \ "k" :)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2013, o 00:57 
Moderator
Avatar użytkownika

Posty: 2226
Lokalizacja: Warszawa
Nie wiem czy go się da wyprowadzić bezpośrednio z tego twierdzenia, ale pewnie można go udowodnić podobnie do twierdzenia z linku od Vaxa. Można też zobaczyć jego wyprowadzenie w moim linku, bo tam ono jest.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 7 lis 2013, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 6
OK. Wielkie dzięki :) Już wszystko rozumiem. Temat do zamknięcia.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 10 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Trójkąt prostokątny wpisany w okrąg i wzór pole czworakąta  dominik015  1
 wysokość w trójkącie prostokątnym - zadanie 8  anga93  2
 Trójkąt i wysokości - zadanie 2  pvnrt  1
 wysokość w trójkącie = odległość cięciwy od środka  Glucio  1
 rozwiaz trojkat  cowboyfromhell  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl