szukanie zaawansowane
 [ Posty: 11 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:50 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Udowodnij, że jeżeli funkcja f:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} spełnia dla każdej liczby rzeczywistej x równość f(x+a)=\frac{1}{ \sqrt{2} }\left( f\left( x+2a\right)+f(x) \right) \wedge a \neq 0 to funkcja f jest funkcją okresową.
Jakieś pomysły?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 17:57 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zauważ, że:
f(x+2a)=\frac{1}{ \sqrt{2} }\left( f\left( x+3a\right)+f(x+a) \right)
oraz
f(x)=\frac{1}{ \sqrt{2} }\left( f\left( x+a\right)+f(x-a) \right)
Wstaw te dwie równości do wyjściowej, poupraszczaj i zastanów się jak zrobić potem ostatni krok.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:12 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Doszedłem do :
f(x+3a)-f(x+2a)+\frac{2-\sqrt{2}}{2}f(x+a)-\frac{\sqrt{2}}{2}f(x-a)=0
Ale brak pomysłu co dalej. Jakaś podpowiedź?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:16 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Gadziu napisał(a):
f(x+3a)-f(x+2a)+\frac{2-\sqrt{2}}{2}f(x+a)-\frac{\sqrt{2}}{2}f(x-a)=0
Nie mam pojęcia skąd to się wzięło. Jesteś pewien, że zrobiłeś to co zasugerowałem?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:22 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Sorry, wstawiłem nie tam gdzie trzeba.
Wyszło
f(x+3a)+f(x-a)=0
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:28 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Ok, jeśli teraz wstawimy x\to x+a, to otrzymamy:
f(x+4a)=-f(x).

Sprawdź w takim razie ile równa się:
f(x+8a)

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:33 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
No f(x+8a)=-f(x+4a). Czyli z tego wynika, że jest okresowa z okresem 4?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:37 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Nie wynika (i 4a a nie 4 jeśli już), ale przecież chwilę wcześniej zostało policzone ile wynosi f(x+4a), więc możesz ten rachunek pociągnąć dalej.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:43 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Hmm, czyli mamy tak
f(x+4a)=-f(x) \\ f(x+8a)=f(x) \\ f(x+12a)=-f(x) \\ itd

i już?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:44 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Wystarczy druga równość:
f(x+8a)=f(x)

Jeśli wiesz, co to znaczy, że funkcja jest okresowa, to powinieneś też zauważyć, że to już koniec rozwiązania.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 6 lis 2013, o 18:47 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 646
Lokalizacja: Warszawa\Radom
Super dzięki za pomoc:)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 11 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Asymptota ukośna i pozioma - oto jest pytanie  bolo  10
 Czy jest rosnąca?  Agata1988  3
 Korzystajac z definicji udowodnij .....  Rey'nox  1
 udowodnij... wykaz...  bleble  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl