szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2013, o 18:14 
Użytkownik

Posty: 205
Pokazać, że dla n\in\mathbb N:

\sum_{k=0}^n (-1)^{k}{n\choose k}=0

Krok drugi:

Założenie: \sum_{k=0}^{n} (-1)^{k}{n\choose k}=0

Teza: \sum_{k=0}^{n+1} (-1)^{k}{n+1\choose k}=0

Przekształcając tezę tak, że wykorzystałem także założenie indukcyjne doszedłem do poniższej postaci:

\sum_{k=0}^{n}(-1)^{k+1}{n\choose k}

Czy stąd da się już jakoś dokończyc mój dowód, czy lepiej po prostu zacząc od początku i próbować innej drogi?

Z góry dziękuję
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 10 lis 2013, o 21:07 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1918
Lokalizacja: Wrocław
Mnie takie coś nie powstało, ale pewnie jest kilka wariantów. U mnie początek wygląda tak:
\sum_{k=0}^{n+1}  \left( -1 \right) ^{k}{n+1\choose k}=\sum_{k=0}^{n}  \left( -1 \right) ^{k} \left( {n\choose k}+{n\choose k-1} \right) +(-1)^{n+1}=...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2013, o 19:40 
Użytkownik

Posty: 205
Dziękuję, chociaż nadal nie udało mi się dokończyć tego dowodu.

Idąc tą drogą i wykorzystując założenie otrzymuję ostatecznie:

...=\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {n\choose k-1} + (-1)^{n+1}

Na tym się zatrzymałem i nie wiem, jaką ścieżkę mógłbym dalej obrać...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 11 lis 2013, o 20:52 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 1918
Lokalizacja: Wrocław
Nie chciałbym rozwiązywać całego, dalej mamy:

\sum_{k=0}^{n} (-1)^{k} {n\choose k-1} + (-1)^{n+1}=\sum_{k=0}^{n-1} (-1)^{k+1} {n\choose k} + (-1)^{n+1}{n\choose n}=\ldots

Teraz zwiń to w jedną sumę.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Indukcja, silnia. - zadanie 2  Edward W  5
 Indukcja matematyczna, udowadnianie podzielności liczb  pyniolek  12
 Indukcja Halmosa  nelcia27  6
 Nierówność indukcją - zadanie 5  aolo23  11
 Wykaz prawdziwosc (indukcja matematyczna)  krzysiek12345  7
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl