szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 11 lis 2013, o 19:08 
Użytkownik

Posty: 40
Lokalizacja: Polska
Bardzo proszę o sprawdzenie rozwiązania.
Mam daną funkcję, mam pokazać czy funkcja jest różnowartościowa i czy jest "na"

f(x)=\begin{cases}2x+[x], x<0\\|x| ,x \ge 0\end{cases}

Rozwiązanie:
Udowodnijmy, że funkcja ta jest ściśle rosnąca:
1. Dla x<0
Weźmy x_{1} i x_{2} takie, że x_{1}>x_{2}
Wówczas otrzymujemy
x_{1}= \frac{-2}{3} to f(x_{1})= \frac{-7}{3}
x_{2}=-1 to f(x_{2})=-3

Czyli f(x_{1}) >f(x_{2})


Wtedy dla dowolnych x_{1} i x_{2} mamy:
x_{1}>x_{2} | \cdot 2\\
 2x_{1}>2x_{2} |+[x]\\
 2x_{1}+[x_{1}]>2x_{2}+[x_{2}] \\
 f(x_{1}) >f(x_{2})
Zatem funkcja na tym odcinku jest ściśle rosnąca

2 Dla x \ge 0
Weźmy x_{1} i x_{2} takie, że x_{1}>x_{2}
Wówczas otrzymujemy
x_{1}=2 to f(x_{1})=2
x_{2}=1 to f(x_{2})=1 Wtedy
f(x_{1}) >f(x_{2})

Zatem cala funkcja jest ścisle rosnąca.
A skoro jest rosnąca to jest różnowartościowa bo:
\sim\exists_{x_{1}>x_{2}}f(x_{1})=f(x_{2})


FUNKCJA nie jest "na" bo dla np x z przedziału \left(-\frac{7}{3},-1  \right) funkcja nie przyjmuje wartości.

Czy taki argument wystarczy?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 11 lis 2013, o 20:27 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Zasadniczy błąd. To że funkcja jest ściśle rosnąca w dwóch przedziałach nie implikuje, że jest rosnąca w całej dziedzinie. Kontrprzykład to na przykład f\left( x\right)=-\frac{1}{x}.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Różnowartościowość funkcji  Marie  1
 różnowartościowość funkcji - zadanie 4  xxxxx  1
 Różnowartościowość funkcji - zadanie 6  Kamila  4
 Różnowartościowość funkcji - zadanie 7  qwerty1  3
 różnowartościowość funkcji - zadanie 8  madziorek  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl