szukanie zaawansowane
 [ Posty: 6 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2013, o 16:26 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Poznań
1. Czy istnieją dwie kolejne liczby naturalne, których sumy cyfr są podzielne przez 11?
Od razu powiem, że wiem, iż takie liczby istnieją i wiem jakie to liczby tylko nie wiem jak to udowodnić...
2. Reszta z dzielenia liczby pierwszej przez 21 jest liczbą złożoną. Która z liczb mogłaby być tą resztą?
Chodzi mi tutaj głownie o tą część pytania: Ile jest takich reszt?
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 13 lis 2013, o 17:06 
Użytkownik

Posty: 60
Lokalizacja: Wrocław
Ad.1
n, n+1 to kolejne liczby naturalne
suma ich ma być podzielna przez 11, czyli suma ma być wielokrotnością jedenastki, co zapisze jako 11k, gdzie k \in N
n+n+1=11k
n= \frac{11k-1}{2}
Skoro n \in N, a ułamek nasz tj. \frac{11k-1}{2} ma w mianowniku 2, to licznik też musi być krotności 2.
11k-1 jest parzyste,czyli wielokrotności 2, tylko wtedy gdy kjest nieparzyste, co zapisuje jako k=2p+1 i po podstawieniu do naszego ułamka, wychodzi, że n=11p+5.
Przykładowe kolejne liczby, których suma jest podzielna przez 11, to: 5,6; 16,17; 27,28.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2013, o 17:20 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
W 1) nie musisz nic udowadniać, jeśli dobrze przepisałeś polecenie. Jak uda Ci się znaleźć liczby spełniające warunki zadania, to znaczy że takie istnieją i zadanie jest rozwiązane poprawnie.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2013, o 17:32 
Użytkownik

Posty: 33
Lokalizacja: Poznań
Sory Jo-anna ale źle to zrobiłaś... to mają być sumy cyfr każdej z liczb podzilene przez 11..
Czyli np. 2899999 i 2900000. A co do drugiego postu...to spoko rozumiem, że nie muszę udowadniać, ale chce wiedzieć jak...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2013, o 17:45 
Użytkownik

Posty: 22
Lokalizacja: Wielkopolska
czy moja niewiedza jest aż taka, że wydaje mi się że w podpunkcie 2 takich liczb nie ma? Przecież chyba nie istnieje liczba pierwsza podzielna przez 21?
edit: chyba niewiedza zwyciężyła, nie rozumiem o co chodzi :p
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 13 lis 2013, o 19:31 
Użytkownik

Posty: 1001
Lokalizacja: Polska
Mihalke napisał(a):
czy moja niewiedza jest aż taka, że wydaje mi się że w podpunkcie 2 takich liczb nie ma? Przecież chyba nie istnieje liczba pierwsza podzielna przez 21?
edit: chyba niewiedza zwyciężyła, nie rozumiem o co chodzi :p

Oczywiście podzielna przez 21 nie jest, ale dająca jakąś resztę w dzieleniu przez 21 już tak.


Moje rozwiązanie:
Przy rozwiązywaniu zadania skorzystamy z następującego faktu:
Cytuj:
Jeśli suma cyfr liczby n dzieli się przez 11, to aby suma cyfr liczby n+1 dzieliła się przez 11, to różnica sum cyfr liczb n i n+1 musi też dzielić się przez 11.

Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) Ostatnia cyfra liczby n jest różna od 9. Wówczas cyfra jedności liczby n+1 będzie o 1 większa, a więc różnica wyniesie 1, powstanie więc liczba niepodzielna przez 11.
2) Z sprzeczności uzyskanej w punkcie 1) wiemy, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być cyfra 9. Spójrzmy jednak szerzej - jeżeli k ostatnich cyfr liczby n stanowić będą 9 a przed tymi dziewiątkami będzie cyfra różna od 1, to k ostatnich cyfr liczby n+1 będzie równych 0, a cyfra poprzedzająca k-tą dziewiątkę liczby n wzrośnie o 1.
Oznacza to, że jeśli do n dodamy 1, to k cyfr zmaleje o 9 (a więc ich suma zmaleje o 9k), a jedna cyfra wzrośnie o 1 i pozostałe cyfry się nie zmienią. Zatem różnica sum cyfr liczb n i n+1 wynosi 9k-1. Różnica ta musi jednak być podzielna przez 11, zatem 9k-1=11l (gdzie l \in N). Wtedy 9k=11l+1. Nietrudno zauważyć, że aby równość zachodziła najmniejszą wartością, jaką musi przyjąć l jest 4. Stąd k=5, a więc 5 ostatnich cyfr tej liczba to dziewiątki. Suma 5 ostatnich dziewiątek to 45, najbliższą liczbą podzielną przez 11 jest 55, należy więc dobrać tak liczby, aby suma cyfr "z przodu" wyniosła 10. Z kolei w liczbie o 1 większej, suma 5 ostatnich cyfr jest równa 0. Analogicznie więc suma cyfr "z przodu" musi wynieść 11. Innymi słowy musimy przedstawić cyfry z przodu tak, aby ich suma wyniosła 10 w przypadku 1 liczby oraz 11 w przypadku 2 liczby. Są to na przykład liczby 28, 29, a ogólniej: liczby (x,x+1), gdzie 10|x  \wedge 11|x+1.

-- 13 lis 2013, o 20:26 --

2. Ogólnie, liczba x przy dzieleniu przez 21 może dawać takie reszty o, gdzie o \in \left\{0,1,2,3,...,19,20\right\}. Z treści zadania wynika jednak, że liczba x jest pierwsza i reszty to liczby złożone, nasz zbiór ogranicza się więc do p \in \left\{2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18\right\}. Wówczas musimy znaleźć liczby pierwsze x, które przyjmują postać kolejno:
21n+2 \\
21n+4 \\
21n+6 \\
21n+8 \\
21n+9 \\
21n+10 \\
21n+12 \\
21n+14 \\
21n+15 \\
21n+16 \\
21n+18 \\
Teraz należy "postarać się" wyłączyć jakąś liczbę przed nawias aby jeszcze pomniejszyć ten zbiór, oczywiście udaje się to:
21n+6 =3(7n+2)\\
21n+9 = 3(7n+3) \\
21n+12 = 3(7n+4) \\
21n+14 =7(3n+2)\\
21n+15 = 3(7n+5)\\
21n+18 = 3(7n+6)\\
Nasz zbiór ograniczył się więc do następujących liczb: r \in \left\{2,4,8,10,16\right\}, a więc takich reszt jest 5.

-- 14 lis 2013, o 21:57 --

AndrzejK napisał(a):
Mihalke napisał(a):
czy moja niewiedza jest aż taka, że wydaje mi się że w podpunkcie 2 takich liczb nie ma? Przecież chyba nie istnieje liczba pierwsza podzielna przez 21?
edit: chyba niewiedza zwyciężyła, nie rozumiem o co chodzi :p

Oczywiście podzielna przez 21 nie jest, ale dająca jakąś resztę w dzieleniu przez 21 już tak.


Moje rozwiązanie:
Przy rozwiązywaniu zadania skorzystamy z następującego faktu:
Cytuj:
Jeśli suma cyfr liczby n dzieli się przez 11, to aby suma cyfr liczby n+1 dzieliła się przez 11, to różnica sum cyfr liczb n i n+1 musi też dzielić się przez 11.

Rozpatrzmy dwa przypadki:
1) Ostatnia cyfra liczby n jest różna od 9. Wówczas cyfra jedności liczby n+1 będzie o 1 większa, a więc różnica wyniesie 1, powstanie więc liczba niepodzielna przez 11.
2) Z sprzeczności uzyskanej w punkcie 1) wiemy, że ostatnią cyfrą tej liczby musi być cyfra 9. Spójrzmy jednak szerzej - jeżeli k ostatnich cyfr liczby n stanowić będą 9 a przed tymi dziewiątkami będzie cyfra różna od 1, to k ostatnich cyfr liczby n+1 będzie równych 0, a cyfra poprzedzająca k-tą dziewiątkę liczby n wzrośnie o 1.
Oznacza to, że jeśli do n dodamy 1, to k cyfr zmaleje o 9 (a więc ich suma zmaleje o 9k), a jedna cyfra wzrośnie o 1 i pozostałe cyfry się nie zmienią. Zatem różnica sum cyfr liczb n i n+1 wynosi 9k-1. Różnica ta musi jednak być podzielna przez 11, zatem 9k-1=11l (gdzie l \in N). Wtedy 9k=11l+1. Nietrudno zauważyć, że aby równość zachodziła najmniejszą wartością, jaką musi przyjąć l jest 4. Stąd k=5, a więc 5 ostatnich cyfr tej liczba to dziewiątki. Suma 5 ostatnich dziewiątek to 45, najbliższą liczbą podzielną przez 11 jest 55, należy więc dobrać tak liczby, aby suma cyfr "z przodu" wyniosła 10. Z kolei w liczbie o 1 większej, suma 5 ostatnich cyfr jest równa 0. Analogicznie więc suma cyfr "z przodu" musi wynieść 11. Innymi słowy musimy przedstawić cyfry z przodu tak, aby ich suma wyniosła 10 w przypadku 1 liczby oraz 11 w przypadku 2 liczby. Są to na przykład liczby 28, 29, a ogólniej: liczby (x,x+1), gdzie 10|x  \wedge 11|x+1.

-- 13 lis 2013, o 20:26 --

2. Ogólnie, liczba x przy dzieleniu przez 21 może dawać takie reszty o, gdzie o \in \left\{0,1,2,3,...,19,20\right\}. Z treści zadania wynika jednak, że liczba x jest pierwsza i reszty to liczby złożone, nasz zbiór ogranicza się więc do p \in \left\{2,4,6,8,9,10,12,14,15,16,18,20\right\}. Wówczas musimy znaleźć liczby pierwsze x, które przyjmują postać kolejno:
21n+2 \\
21n+4 \\
21n+6 \\
21n+8 \\
21n+9 \\
21n+10 \\
21n+12 \\
21n+14 \\
21n+15 \\
21n+16 \\
21n+18 \\
21n+20 \\
Teraz należy "postarać się" wyłączyć jakąś liczbę przed nawias aby jeszcze pomniejszyć ten zbiór, oczywiście udaje się to:
21n+6 =3(7n+2)\\
21n+9 = 3(7n+3) \\
21n+12 = 3(7n+4) \\
21n+14 =7(3n+2)\\
21n+15 = 3(7n+5)\\
21n+18 = 3(7n+6)\\
Nasz zbiór ograniczył się więc do następujących liczb: r \in \left\{2,4,8,10,16,20 \right\}, a więc takich reszt jest 6.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 6 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 podzielność liczb - zadanie 12  margot  1
 Podzielność liczb - zadanie 3  zaudi  11
 Podzielność liczb - zadanie 40  davidd  4
 podzielność liczb - zadanie 39  poldek60  1
 Podzielność liczb - zadanie 30  dawid3690  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl