szukanie zaawansowane
 [ Posty: 4 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 lis 2013, o 14:17 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Swego czasu Spektralny proponował uruchomienie na Forum czegoś w rodzaju projektu PolyMath, co miałoby na celu rozwiązywanie wybranego problemu otwartego poprzez dyskusje w grupie, i co - być może - skutkowałoby powstaniem wspólnej publikacji. O założeniach tego pomysłu można więcej przeczytać tutaj. Jeden z takich projektow już został zainicjowany (dotyczył tego, czy pewnik wyboru wynika z istnienia bazy przestrzeni liniowych nad ustalonym ciałem).

Z niedawnej dyskusji dotyczącej punktów ekstremalnych (zobacz 347601.htm) wynikł, jak się zdaje, dość ciekawy i prawdopodobnie otwarty problem, a mianowicie: Czy istnieje taka nieskończona, zwarta przestrzeń Hausdorffa K, że kula jednostkowa dowolnej izomorficznej kopii przestrzeni C(K) ma punkt ekstremalny? Z rozwiązania zadania (b), przedstawionego w tamtej dyskusji, wynika, że jeżeli odpowiedź na powyższe pytanie jest twierdzącą, to szukana przestrzeń K wzmacniałaby przykłady znalezione przez P. Koszmidera i G. Plebanka, bowiem C(K) nie byłaby wówczas izomorficzna ze swoimi hiperpodprzestrzeniami. Może więc, przynajmniej z ,,psychologicznego" punktu widzenia, lepiej zacząć od prób wykazania, że odpowiedź brzmi: nie, czyli, że prawdziwa jest

Hipoteza 1. Każda nieskończenie wymiarowa przestrzeń typu C(K) ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych.

Gdyby to się udało, można pójść oczywiście za ciosem i zastanowić się nad czymś znacznie mocniejszym:

Hipoteza 2. Każda przestrzeń Banacha bez własności Radona-Nikodyma ma takie przenormowanie, że kula jednostkowa nie ma żadnych punktów ekstremalnych. (Wiadomo, że jeżeli dana przestrzeń ma własność Radona-Nikodyma, to znalezienie takiego przenormowania jest niemożliwe; zobacz: rozwiązania zadania (a) w 347601.htm.)

Wspólnie ze Spektralnym chcielibyśmy zachęcić wszystkich zainteresowanych do wzięcia udziału w tym projekcie i dzielenia się swoimi spostrzeżeniami, wątpliwościami i wszystkim, co może się okazać jakimś krokiem w kierunku rozwiązania tych problemów.


Aktualizacja:

Pokaż dyskusję:    

Okazuje się, że dla przestrzeni C(K) sprawa jest dosyć prosta, a w zasadzie - prosto wynika z tego, co zostało już powiedziane w rozwiązaniu zadania (b) dyskusji 347601.htm. Wybierzmy mianowicie dowolny punkt nieizolowany t\in K i rozważmy hiperpłaszczyznę Y=\{f\in C(K)\colon f(t)=0\} oraz przestrzeń X=Y\oplus\mathbb{R} z normą \|(f,\alpha)\|=\max\{\|f\|,\vert\alpha\vert\}. Wówczas, jak łatwo widać, mamy izomorfizm X\cong C(K), podczas gdy kula jednostkowa przestrzeni X nie ma żadnych punktów ekstremalnych. Rzeczywiście, jeżeli (f,\alpha) jest dowolnym punktem kuli jednostkowej w X, to wobec tego, co zostało wykazane w rozwiązaniu wspomnianego zadania (b), możemy znaleźć taką niezerową funkcję g\in Y, że zarówno (f+g,\alpha), jak i (f-g,\alpha) leżą także w kuli jednostkowej. (Przy założeniu, że C(K) jest izomorficzna ze swoimi hiperpłaszczyznami mieliśmy po prostu Y\cong Y\oplus\mathbb{R}.)

Otwarta zatem pozostaje hipoteza 2.
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 11:14 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3977
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Dużym otwartym problemem w analizie funkcjonalnej jest równoważność dwóch własności przestrzeni Banacha: własności Kreina-Milmana i własności Radona-Nikodyma. Własność Radona-Nikodyma implikuje własność Kreina-Milmana, nie wiadomo jednak jak jest w przypadku przeciwnym (tj. wiadomo to dla przestrzeni izomorficznych z dualami [Stegall, Huff & Morris] i jeszcze paru innych klas [Schachermayer 1, Schachermayer 2], ale nie w ogólności).

Jeżeli nie zachodzi implikacja KMP \Rightarrow RNP, to każdy kontrprzykład na to jest również kontrprzykładem na hipotezę 2. (Nawet więcej, kula każdego przenormowania takiego kontrprzykładu ma bardzo dużo punktów ekstremalmych.)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 13:29 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Polska
Tak, to pokazuje, że hipoteza 2 jest (formalnie) silniejsza niż otwarty (i bardzo trudny) problem KMP \Rightarrow RNP. Można jednak zadać pytanie, czy jest istotnie silniejsza; innymi słowy:

Pytanie 1 (wersja globalna). Przypuśćmy, że KMP \Rightarrow RNP czyli, że każda przestrzeń Banacha bez własności Radona-Nikodyma zawiera niepusty, domknięty, wypukły i ograniczony podzbiór bez punktów ekstremalnych. Czy wynika stąd hipoteza 2?

Pytanie 1 (wersja lokalna). Czy każda przestrzeń Banacha bez własności Kreina-Milmana (a więc zawierająca pewien niepusty, domknięty, wypukły i ograniczony podzbiór bez punktów ekstremalnych) weryfikuje hipotezę 2?

Zauważmy jeszcze, że kontrprzykładów do hipotezy 2 nie da się tanio wyprodukować biorąc sumę prostą przestrzeni z własnością Radona-Nikodyma i przestrzeni bez tej własności, jak np. \ell_2\oplus c_0. Rzeczywiście, zachodzi bowiem

Obserwacja. Jeżeli przestrzeń Banacha X zawiera komplementarną podprzestrzeń Y, izomorficzną z pewną przestrzenią, w której kula jednostkowa nie ma punktów ekstremalnych (a zatem Y może być np. jakąkolwiek kopią nieskończenie wymiarowej przestrzeni C(K)), to przestrzeń X również jest izomorficzna z przestrzenią, w której kula jednostkowa nie ma punktów ekstremalnych.

Dowód. Niech \|\cdot\|_0 będzie taką normą na Y, że kula jednostkowa w (Y,\|\cdot\|_0) nie ma punktów ekstremalnych. Niech dalej Z będzie taką domkniętą podprzestrzenią X, że X=Y\oplus Z i określmy nową normę na X wzorem \|(y,z)\|^\prime=\max\{\|y\|_0,\|z\|\}. Jest ona równoważna normie \|\cdot\|, bowiem operator identycznościowy X\to Y\oplus_\infty Z jest izomorfizmem, co wynika z twierdzenia o odwzorowaniu otwartym i ciągłości tego operatora:

\|(y,z)\|^\prime\leq\max\{\|P_Y\|\|T\|,\|P_Z\|\}\cdot\|y+z\|,

gdzie P_Y i P_Z są odpowiednio ciągłymi rzutami z X na Y i Z, a T jest izomorfizmem z (Y,\|\cdot\|) na (Y,\|\cdot\|_0). Z własności przestrzeni Y łatwo wynika, że również kula jednostkowa w (X,\|\cdot\|^\prime) nie ma punktów ekstremalnych.

Co prawda, hipoteza 2 była może nieco przestrzelona, ale można spytać o jakieś inne klasy przestrzeni Banacha bez własności Radona-Nikodyma (poza tymi, które zawierają komplementarnie izomorficzne kopie nieskończenie wymiarowych C(K)), które tę hipotezę weryfikują.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 21 lis 2013, o 11:17 
Korepetytor
Avatar użytkownika

Posty: 3977
Lokalizacja: Praga, Dąbrowa Górnicza, Lancaster
Niech \mathcal{K}(X) oznacza przestrzeń operatorów zwartych na danej przestrzeni Banacha; ta przestrzeń niemal nigdy nie ma własności Radona-Nikodyma gdyż często siedzi w niej c_0. Na przykład, gdy X ma bazę bezwarunkową to podalgebra operatorów diagonalnych (względem tej bazy) jest izomorficzna z c_0. Nie mamy jednak dowodu na to, że \mathcal{K}(X) nigdy nie ma własności Radona-Nikodyma.

Gdy X jest przestrzenią Hilberta, to kula \mathcal{K}(X) nie ma punktów ekstremalnych, jednak gdy X=\ell_p przy p\in (1,\infty)\setminus\{2\} tych punktów już jest całkiem sporo [Hennefeld].

Pozwolę sobie zadać pytanie pomocnicze:

Pytanie 2. Czy istnieje takie przenormowanie X przestrzeni \ell_p, że kula \mathcal{K}(X) nie ma punktów ekstremalnych?

W tym wypadku \mathcal{K}(X) nie ma własności Radona-Nikodyma, bo \ell_p ma bazę bezwarunkową. Byłoby czymś, gdybyśbmy pokazali, że dla każdej przestrzeni refleksywnej E istnieje jej takie przenormowanie X, że kula \mathcal{K}(X) nie ma punktów ekstremalnych.

-- 24 lis 2013, o 22:02 --

Dorzucę garść źródeł. Charakteryzacja punktów ekstremalnych w kuli C(K) jako funkcji przyjmujących wartości o wartości bezwględnej 1, to Lemma 5.3 z pracy [Arens-Kelley]. Analogiczny opis punktów ekstremalnych kuli przestrzeni operatorów zwartych pomiędzy przestrzeniami typu C(K) można znaleźć w pracy [Lindenstrauss-Phelps].

-- 24 lis 2013, o 23:53 --

Naszła mnie taka myśl. Niech X będzie przestrzenią bazą Schaudera (e_n)_{n=1}^\infty. Zdefiniujmy nową normę w przestrzeni \mathcal{K}(X) operatorów zwartych na X wzorem

\|K\|^\prime = \|K\| + \sup_{n\in\mathbb{N}} \|Ke_n\|

Czy dałoby się łatwo pokazać, że kula jednostkowa \mathcal{K}(X) z tą nową normą nie ma punktów ekstremalnych?

-- 25 lis 2013, o 00:02 --

Wystarczyłoby nawet pokazać, że kula (\mathcal{K}(X), \|\cdot\|^\prime) nie ma denting points...

-- 25 lis 2013, o 21:01 --

W powyższym zakładamy bez straty ogólności, że ciąg (e_n)_{n=1}^\infty jest ogrniaczony i siedzi w kuli jednostkowej.

Okej, przypuścimy, że K\in \mathcal{K}(X), \|K\|^\prime = 1 oraz K = \tfrac{1}{2}K_1+ \tfrac{1}{2}K_2 dla pewnych K_1, K_2\in \mathcal{K}. Chcemy pokazać, że K_1 lub K_2 wyskakuje z (nowej) kuli jednostkowej. Mamy

\|K_1 + K_2\|^\prime = 2

W szczególności, dla każdego n

\|K_1+K_2\| + \|K_1e_n + K_2e_n\|\leqslant 2

Ponieważ \|e_n\|\leqslant 1, mamy

\|K_1e_n + K_2e_n\|\leqslant \|K_1+K_2\|

czyli

\|K_1e_n + K_2e_n\|\leqslant 1.

Czy coś z tego dla nas wynika?
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 4 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Projekt 1: Aksjomat wyboru a bazy Hamela.  Spektralny  4
 Symetria względem jakichś punktów  MmikiM  0
 Wyznaczanie współrzędnych punktów leżących na okręg  yakhub  3
 Znajdź miejsce geometryczne punktów  Server  17
 Zbiór punktów płaszczyzny spełniających warunek  fiolek  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl