szukanie zaawansowane
 [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 16:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Jeżeli liczba pierwsza p dzieli rząd grupy G, to w G istnieje element rzędu p.

Dowód:

Niech H będzie p-podgrupą Sylowa grupy G. Wtedy oczywiście |H|>1. Wobez tego istnieje element a \in H różny od e. Zatem |a|>1 i liczba |a| jest dzielnikiem liczby |H|=p^k. Stąd |a|=p^r, gdzie 1  \le r  \le k. Wtedy rząd elementu a^{p^{r-1} } jest równy p.
\square

Niestety nie rozumiem tego dowodu. Mam następujące problemy:
1. Dlaczego liczba a jest dzielnikiem liczby |H|=p^k
2. Dlaczego rząd elementu a^{p^{r-1} } jest równy p ?

-- 15 lis 2013, o 17:16 --

Wydaje mi się, że odpowiedź na moje pierwsze pytanie wynika z twierdzenia Lagrange'a. Grupa generowana przez element a jest pewną podgrupą grupy H. Zatem na mocy twierdzenia Lagrange'a rząd grupy generowanej przez element a musi dzielić rząd grupy H. Stąd też otrzymuje, że |a|=p^r. Reszty nadal nie rozumiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 17:51 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli n jest rzędem grupy, to dla dowolnego elementu b jest: b^n=e.

Stąd \left( a^{p^{r-1}}\right)^p = a^{p^r} = e. Oczywiście też podniesienie elementu a^{p^{r-1}} do potęgi mniejszej niż p nie da nam elementu neutralnego, oczywiście też tenże element sam nie jest neutralny. Oznacza to, że najniższa potęga do której trzeba go podnieść by otrzymać element neutralny to p, a zatem tyle właśnie wynosi rząd elementu.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 18:42 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Qń napisał(a):
Jeśli n jest rzędem grupy, to dla dowolnego elementu b jest: b^n=e.



A tego nie wiedziałem ! Skąd taki fakt?
Góra
Mężczyzna Online
PostNapisane: 15 lis 2013, o 18:46 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 13183
Lokalizacja: Wrocław
Dzięki twierdzeniu Lagrange'a mamy, że w grupie skończonej rząd elementu dzieli rząd grupy.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 18:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Premislav, nadal nie rozumiem. To co powiedziałeś to twierdzenie Lagrange'a. Ale jak ma się ono do faktu powyżej?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 20:07 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Niech r będzie rzędem elementu b, a n rzędem grupy. Z tw. Lagrange'a wynika, że r|n czyli n=rk. Tak więc:
b^n= b^{rk}= (b^r)^k= e^k=e

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 20:12 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, ok! To już rozumiem. Ale nie wiem nadal jak ma się to do dowodu twierdzenia Cauchy'ego.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 20:16 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
A co jeszcze jest niejasne w moim pierwszym poście w tym wątku?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 20:37 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Qń napisał(a):

Stąd \left( a^{p^{r-1}}\right)^p = a^{p^r} = e. Oczywiście też podniesienie elementu a^{p^{r-1}} do potęgi mniejszej niż p nie da nam elementu neutralnego, oczywiście też tenże element sam nie jest neutralny. Oznacza to, że najniższa potęga do której trzeba go podnieść by otrzymać element neutralny to p, a zatem tyle właśnie wynosi rząd elementu.

Q.


To wszystko. Skąd w ogóle taki twór jak a^{p^{r-1}} . I dlaczego podnosimy go do ptej potęgi?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 22:46 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zdecyduj się o co pytasz: czy o to jak ktoś wpadł na taki dowód, czy też o to jak wygląda ten dowód.

Jeśli o to drugie, to pytanie "skąd taki twór jak a^{p^{r-1}}" jest bez sensu - ktoś wymyślił, że będzie ten element rozważać i już. A zadaniem osoby, która próbuje zrozumieć dowód nie jest dociec jak ten ktoś to wymyślił, tylko dlaczego to działa.

Pomysł jest taki - stwierdzamy, że istnieje element a rzędu p^r, a następnie przyglądamy się elementowi b=a^{p^{r-1}}. I twierdzimy, że ma on rząd równy p (a jeśli tak, to oczywiście jest koniec dowodu). By tego dowieść musimy z definicji rzędu pokazać dwie rzeczy:
1) b^p=e
2) dla dowolnego k takiego, że 0<k<p jest b^k\neq e

Ze zrozumieniem uzasadnienia której z tych dwóch rzeczy masz problem?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 22:59 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, przepraszam, że mówie niejasno. Postaram się to dobrze sprecyzować tym razem. To, że ktoś sobie tak wymyślił i , że to działa nie jest moim problemem. Ja nie rozumiem jedynie dlaczego to działa? Przecież piszę na początku, że |a|=p^r. Czyli, że rząd elementu a równy jest liczbie p^r. A miałem przecież dowieść, że rząd ten równy jest p. Tego nie rozumiem. Najpierw pisze, że rząd jest potęgą liczby pierwszej p, a potem piszę, że ten rząd to p.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 23:03 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
leszczu450 napisał(a):
rząd elementu a równy jest liczbie p^r. A miałem przecież dowieść, że rząd ten równy jest p.
Nic takiego nie miałeś dowieść. Miałeś dowieść istnienia elementu o rzędzie równym p. Rzecz jasna nie jest to element a, wszak on nie ma rzędu równego p, tylko p^r. Natomiast idea dowodu polega na tym, by wykazać, że element b=a^{p^{r-1}} ma rząd równy p - jeśli to wykażemy, to istotnie będzie to znaczyło, że istnieje element rzędu p.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 23:16 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, o ! Teraz zrozumiałem. Więc musze udowodnić, że ten element b ma rząd równy p. Ale dlaczego warunki, które mi podałeś sprawią, że ten element będzie miał taki rząd?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 23:24 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
leszczu450 napisał(a):
Qń napisał(a):
musimy z definicji rzędu pokazać dwie rzeczy:
1) b^p=e
2) dla dowolnego k takiego, że 0<k<p jest b^k\neq e
Ale dlaczego warunki, które mi podałeś sprawią, że ten element będzie miał taki rząd?
A Ty właściwie znasz definicję rzędu elementu?

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 15 lis 2013, o 23:25 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, rząd elementu a to rząd grupy generowanej przez ten element. Taką definicję znam.

-- 15 lis 2013, o 23:36 --

Wybacz mi moją niewiedzę, ale niestety kurs algebry przechodzę sam w domu z jedną książką. Zatem niektóre definicje, oznaczenia i fakty są mi zupełnie nieznane.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 19 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wyznaczyć liczbę 2-grup Sylowa  juvex  0
 dowód twierdzenia - zadanie 4  azedor  2
 twierdzenie o elemencie pierwotnym  vital  23
 P-grupa Sylowa, pierścienie  krzysiek123  2
 Twierdzenie Gallai  paulina9612  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl