szukanie zaawansowane
 [ Posty: 15 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 00:10 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Tak jak w temacie, mam wyznaczyć dzielniki normalne grupy S_3.

Przeszukałem forum i googla, ale nadal mi słabo z tym idzie.

Zaczne od początku. Grupa S_3 to grupa permutacji zbioru trzyelementowego. Permutacji jest 6.
\sigma_1 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 2 & 3  \end{array} \right)
\sigma_2 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 3 & 1  \end{array} \right)
\sigma_3 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 1 & 2  \end{array} \right)
\sigma_4 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 1 & 3 & 2  \end{array} \right)
\sigma_5 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 3 & 2 & 1  \end{array} \right)
\sigma_6 = \left( \begin{array}{ccc} 1 & 2 & 3\\ 2 & 1 & 3  \end{array} \right)


Więc moja grupa wygląda tak : S_3 =\left\{ \sigma_1, \sigma_2, \sigma_3, \sigma_4, \sigma_5, \sigma_6, \circ\right\}
Teraz muszę wskazać jej wszystkie podgrupy. I tutaj niestety mam problem. Jak zaczać? Napewno jedną z podgrup jest:
H_1 = \left\{ \sigma_1\right\}

Dalej nie wiem jak postępować.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:23 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Zacznij od zastanowienia się jak wyglądają podgrupy generowane przez poszczególne elementy, czyli podgrupy cykliczne.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:26 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
H_1 = \left\{ \sigma_1\right\}
H_2 = \left\{ \sigma_1, \sigma_2\right\}
H_3 = \left\{ \sigma_1, \sigma_3\right\}
H_4 = \left\{ \sigma_1, \sigma_4\right\}
H_5 = \left\{ \sigma_1, \sigma_5\right\}
H_6 = \left\{ \sigma_1, \sigma_6\right\}

To są grupy generowane przez jeden element. Jak poradzić sobie z grupami generowanymi przez 2 elementy? Sprawdzać wszystkie możliwe pary? Czyli {6 \choose 2} par muszę rozważyć?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:33 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Pierwsza i trzy ostatnie podgrupy ok, ale pozostałe źle.

Spójrz:
\sigma_2^2= \sigma_3\\
\sigma_2^3= \sigma_1
więc grupa generowana przez \sigma_2 ma trzy elementy:
H_5= \{\sigma_1,\sigma_2,\sigma_3\}.
Dokładnie tę samą grupę generuje \sigma_3.

Nietrudno zauważyć, że innych podgrup właściwych nie ma, bo rząd każdej podgrupy musi dzielić rząd S_3, czyli 6, a zatem podgrupy właściwe mogą mieć tylko rząd 1,2,3, zatem muszą być cykliczne, a wszystkie cykliczne właśnie znaleźliśmy.

Sprawdź teraz z definicji czy H_4 jest normalna (dla H_5,H_6 będzie identycznie) oraz czy H_2 jest normalna (choć tu akurat można też się powołać na stosowne twierdzenie, że podgrupa o indeksie 2 zawsze jest normalna).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:43 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Co rozumiesz poprzez ten zapis:
\sigma_5^2= \sigma_6

?
To znaczy \sigma_5 \circ \sigma_5 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:45 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Tak, ale właśnie zauważyłem, że oznaczyłeś elementy niezgodnie z moją intuicją, więc muszę poprawić swój poprzedni post.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:50 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, no tak własnie podnosze do tej potęgi i nic mądrego mi nie wychodzi : )
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:53 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Jeśli podnosisz do potęgi już w wersji poprawionej, to powinno wyjść tyle co jest napisane po poprawieniu: \sigma_2 przesuwa jedynkę na dwójkę, a dwójkę na trójkę - tak więc dwukrotne zadziałanie tą permutacją (czyli właśnie jej złożenie ze sobą) przesunie jedynkę na trójkę, tak jak w \sigma_3. Analogicznie dwójka przejdzie na jedynkę, a trójka na dwójkę.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 01:57 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, ok widzę to. Ale dlaczego nie ma już innyc podgrup?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 02:06 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z tego powodu o którym napisałem - znaleźliśmy już wszystkie podgrupy rzędu dwa i rzędu trzy (bo grupy o tych rzędach zawsze są cykliczne, czyli generowane przez jeden element). A ponieważ rząd podgrupy musi dzielić rząd grupy, więc jedynymi kandydatami na rzędy podgrup są 1,2,3,6. Czyli 2,3 już mamy załatwione (trzy podgrupy rzędu dwa i jedna rzędu trzy), a do tego dochodzi podgrupa rzędu 1 (trywialna, czyli złożona tylko z elementu neutralnego) oraz rzędu 6 (czyli całość).

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 02:11 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Dla utrzymania dobrych oznaczeń:

\left\langle \sigma_1\right\rangle = H_1 = \left\{ \sigma_1\right\}
\left\langle \sigma_2\right\rangle =H_2 = H_3=\left\langle \sigma_3\right\rangle = \left\{ \sigma_1 , \sigma_2, \sigma_3\right\}
\left\langle \sigma_4\right\rangle =H_4= \left\{ \sigma_1, \sigma_4\right\}
\left\langle \sigma_5\right\rangle = H_5= \left\{ \sigma_1 , \sigma_5\right\}
\left\langle \sigma_6\right\rangle = H_6 = \left\{ \sigma_1 , \sigma_6\right\}

Teraz muszę sprawdzić, które z nich są dzielnikami normalnymi grupy S_3

Widziałem również fakt o którym mówisz, że jeśli [G : H]=2 to H jest dzielnikiem normlanym grypy G. Więc w naszym zadaniu napewno H_2= H_3 będzie dzielnikiem normalnym grupy S_3.

Teraz przyglądam się pozostałym grupom. Patrzę na grupę H_4. Co mam teraz zrobić? Wziąć każdy jej element i po kolei przemnożyć go przez każdy element S_3 i potem przemnożyć przez odwrotność ?

-- 16 lis 2013, o 01:15 --

, a skąd wiemy, że są to wszystkie grupy rzędu dwa i trzy?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 02:18 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
Z grubsza biorąc się zgadza, jeśli używasz definicji podgrupy normalnej z równością aHa^{-1}=H (ja wolę aH=Ha, ale to wszystko jedno). Z tym, że akurat w tym wypadku nie musisz sprawdzać tego dla każdego elementu S_3, bo wystarczy znaleźć jeden dla którego równość się wyłoży.

Na przykład dla podgrupy \left\langle \sigma_4\right\rangle sprawdź co będzie jak weźmiesz na tapetę element \sigma_5, to znaczy sprawdź czy:
\sigma_5\left\langle \sigma_4\right\rangle\sigma_5^{-1} =\left\langle \sigma_4\right\rangle

Q.

PS. A wiemy, że to wszystkie podgrupy cykliczne, bo każda podgrupa cykliczna jest generowana przez jeden element, a my sprawdziliśmy co generuje każdy element.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 02:22 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
Qń napisał(a):
Z grubsza biorąc się zgadza, jeśli używasz definicji podgrupy normalnej z równością aHa^{-1}=H (ja wolę aH=Ha, ale to wszystko jedno). Z tym, że akurat w tym wypadku nie musisz sprawdzać tego dla każdego elementu S_3, bo wystarczy znaleźć jeden dla którego równość się wyłoży.


Czy zapis aHa^{-1}=Hjest tym samym co zapis aha^{-1} \in H. Bo ja mam taką definicje dzielnika normalnego.

Jeśli h \in H , g \in G to H jest podgrupą normalną grupy G jeżeli:

ghg^{-1} \in H

-- 16 lis 2013, o 01:32 --

Qń napisał(a):
PS. A wiemy, że to wszystkie podgrupy cykliczne, bo każda podgrupa cykliczna jest generowana przez jeden element, a my sprawdziliśmy co generuje każdy element.


A może znajdzie się taka podgrupa, która będzie generowana przez dwa elementy, a jej rząd będzie równy trzy. Może się tak zdażyć?



, sprawdziłem, że dzielnikami normalnymi są tutaj podgrupy : H_1orazH_2=H_3. Dla reszty się wykłada. Jednak mam problem nadal ze zrozumieniem dlaczego nie szukam innych podgrup generowanych przez dwa, trzy, cztery, pięć, sześć elementów?

Napisałeś w którymś z postów, że " znaleźliśmy już wszystkie podgrupy rzędu dwa i rzędu trzy (bo grupy o tych rzędach zawsze są cykliczne, czyli generowane przez jeden element".
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 09:42 
Użytkownik

Posty: 9836
Lokalizacja: Bydgoszcz
leszczu450 napisał(a):
Czy zapis aHa^{-1}=Hjest tym samym co zapis aha^{-1} \in H. Bo ja mam taką definicje dzielnika normalnego.
Z grubsza rzecz biorąc tak. Definiujemy:
aH= \left\{ ah: h\in H\right\} \\
Ha= \left\{ ha: h\in H\right\} \\
aHa^{-1}= \left\{ aha^{-1}: h\in H\right\}
i łatwo pokazać, że warunki aH=Ha oraz aHa^{-1}=H są równoważne z definicją przytoczoną przez Ciebie.

Jeśli wolisz użyć swojej definicji, to możesz sprawdzić czy:
\sigma_5 \sigma_4\sigma_5^{-1} \in\left\langle \sigma_4\right\rangle
Jak rozumiem - już to zrobiłeś i udało Ci się wykazać, że tak nie jest, skąd wniosek że żadna z trzech (bo dla pozostałych jest tak samo) podgrup rzędu dwa nie jest normalna.
Cytuj:
A może znajdzie się taka podgrupa, która będzie generowana przez dwa elementy, a jej rząd będzie równy trzy. Może się tak zdażyć?
Nie może się tak zdarzyć, bo zachodzi twierdzenie, że każda grupa, której rząd jest liczbą pierwszą - jest grupą cykliczną (dowód zresztą jest łatwy). Stąd każda grupa rzędu dwa oraz rzędu trzy musi być generowana przez jeden element.

Q.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 lis 2013, o 13:05 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 4435
Lokalizacja: Toruń
, dziękuję za pomoc! Zaraz postaram sie udowodnić fakt o którym wspomniałeś.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 15 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 grupy - zadanie 5  dusia17  2
 wyznaczanie generatorów grupy multiplikatywnej Zp  bjera  2
 Dowód na komutatywność grupy  dzejkej  1
 komutatory grupy  shems1988  1
 Grupy permutacji - zadanie 7  barto38  4
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl