szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2013, o 20:33 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Kraków
Witam,
mam do wykazania metodą indukcji takie równanie

\forall x \in N_{+} : 1^{2} + 5^{2} +9^{2} + ... + (4n-3)^{2}=  \frac{1}{3}n (16n^{2} -12n-1)
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2013, o 20:34 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
1. Sprawdź dla n=1.
2. Założenie, teza i jedziesz ;) Pokaż, dokąd doszedłeś.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2013, o 21:33 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Kraków
Mam tyle:

1. n=1
(4-3)^{2}= \frac{1}{3}(16-12-1)
1=1

2. Zakładam, ze równanie jest prawdziwe dla pewnej liczby k \ge 1

1^{2}+5^{2}+9^{2}+...+(4k-3)^{2}=  \frac{1}{3} k(16k^{2}-12k-1)

3. Udowadniam ze równanie prawdziwe dla k+1

1^{2}+5^{2}+9^{2}+...+(4k-3)^{2}+(4k+1)^2=  \frac{1}{3}(k+1)(16k^{2} +20k+3)
L= 1^{2}+5^{2}+9^{2}+...+(4k-3)^{2}+(4k+1)^2= ( z zal.)  \frac{1}{3}k(16k^{2} -12k-     1)(4k+1)^{2}=....

Niestety na tym się kończy mój pomysł na to rozwiązanie. Nie potrafie juz tego doprowadzić do konca, wychodzą mi dziwne rzeczy. Mam nadzieję, ze wcześniej sie gdzies nie pomyliłam
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 18 lis 2013, o 21:44 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 415
Lokalizacja: Biała Podlaska
Dobrze, tylko zjadłeś plus. Powinno być:

L= 1^{2}+5^{2}+9^{2}+...+(4k-3)^{2}+(4k+1)^2= \frac{1}{3}k(16k^{2} -12k - 1)+(4k+1)^{2}=...

I dalej:

...=\frac{1}{3}k(16k^{2} -12k - 1)+16k^2+8k+1= \frac{1}{3}\left( 16k^3-12k^2-k\right)+ \frac{1}{3}\left( 48k^2+24k+3\right)= \frac{1}{3} \left( 16k^3+36k^2+23k+3\right)=...

Z nawiasu wyciągnąć k+1 i dostajesz prawą stronę.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 18 lis 2013, o 21:51 
Użytkownik

Posty: 7
Lokalizacja: Kraków
wielkie dzięki! tak mi niewiele było trzeba :D
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Dwa zadania z indukcji matematycznej  szymonber  6
 Wykazać podzielność przez 36  yonagold  2
 Wykazać indukcyjnie prawdziwość nierówności.  Wolfik  5
 Wykazać prawdziwość(nierówność z logarytmami)  Mars1990  3
 Wykazać wzór na sumę  madzia122  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl