szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2013, o 13:25 
Użytkownik

Posty: 205
Wyznaczyć (jeżeli istnieje) funkcję odwrotną do funkcji f:(1, \infty )\rightarrow\mathbb R określonej wzorem: f(x)=\log _{x}2.

W odpowiedziach mam podane, że funkcja ta jest bijekcją, no ale według mnie nie jest ona bijekcją - nie jest bowiem surjekcją (nie przyjmuje wartości z przedziału (-\infty, 0]), kto więc się myli?

A jeżeli już by się uprzeć przy tym, że jest ona bijekcją, to proszę o sprawdzenie, czy poprawnie wyznaczyłem f^{-1}.

f(x)=\log _x2\iff y=\log _x2\iff y=\frac{1}{\log _{2}x}\iff y\log _2x=1\iff\\
\iff \log _2x=\frac{1}{y}\iff 2^{\frac{1}{y}}=x\iff x=\sqrt[y]{2}\iff f^{-1}=\sqrt[y]{2}
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 23 lis 2013, o 13:59 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 4376
Lokalizacja: Łódź
Edward W napisał(a):
według mnie nie jest ona bijekcją - nie jest bowiem surjekcją (nie przyjmuje wartości z przedziału (-\infty, 0]), kto więc się myli?

...

x=\sqrt[y]{2}\iff f^{-1}=\sqrt[y]{2}


Bijekcja to funkcja różnowartościowa i na. Nasza funkcja spełnia te warunki, więc jest bijekcją. To że zbiorem wartości nie są wszystkie liczby rzeczywiste, nie ma z tym żadnego związku.

W przekształceniu masz zamienić miejscami x i y więc,

x=f^{-1}= 2^{ \frac{1}{x} }
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2013, o 19:55 
Administrator

Posty: 21373
Lokalizacja: Wrocław
kropka+ napisał(a):
Bijekcja to funkcja różnowartościowa i na. Nasza funkcja spełnia te warunki, więc jest bijekcją. To że zbiorem wartości nie są wszystkie liczby rzeczywiste, nie ma z tym żadnego związku.

Zasadniczo rzecz biorąc nie masz racji - ta funkcja nie jest "na" i nie ma funkcji odwrotnej, a to, że zbiorem wartości nie są wszystkie liczby rzeczywiste ma z tym duży związek.

Natomiast odwracalna jest funkcja g:(1,+\infty) \rightarrow (0,+\infty), g(x)=\log_x2 i do niej (prawie) dobrze wyznaczyłeś funkcją odwrotną: g^{-1}:(0,+\infty) \rightarrow (1,+\infty), g^{-1}(x)=2^{\frac{1}{x}}. Prawie, bo zapis " \sqrt[y]{2} " nie ma sensu - pierwiastki mogą być tylko naturalnych stopni.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2013, o 20:17 
Użytkownik

Posty: 205
Dziękuję.

Jak rozumiem, tworząc funkcję odwrotną do jakiejś funkcji f(x)=y piszemy f^{-1}(x)=y [chodzi mi konkretnie o zamianę zmiennych, bo "poprawnie" (może nie dość dobrze to ująłem, ale chyba będzie wiadomo, o co mi chodzi) winno być chyba f^{-1}(y)=x] głównie ze względu na późniejsze przedstawienie jej wykresu w sposób "naturalny" (nie odwrócony) - czyli rysując wykres symetryczny względem prostej y=x?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 23 lis 2013, o 20:51 
Administrator

Posty: 21373
Lokalizacja: Wrocław
348723.htm#p5160138

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 Jaka to funkcja?  Anonymous  1
 Nowe pojęcie - funkcja cecha  jchris  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl