szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 25 lis 2013, o 19:38 
Użytkownik

Posty: 5640
Lokalizacja: Kraków
Sigma-ciała

Cytuj:
Sigma-ciałem podzbiorów zbioru niepustego X jest struktura \mathfrak{M} spełniająca następujące warunki:

  • \emptyset\in\mathfrak{M},
  • jeśli A\in\mathfrak{M}, to A'\in\mathfrak{M},
  • jeśli \{A_n:n\in N\}\subset\mathfrak{M}, to \displaystyle\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n\in\mathfrak{M}.


Z tej definicji mamy też:
X \in \mathfrak{M} bo X =\emptyset^C
• Jeśli A, B \in  \mathfrak{M} to A \cap B \in \mathfrak{M} bo A \cap B = (A^C \cup B^C)^C oraz A \backslash B \in \mathfrak{M} bo A \backslash B =A \cap B^C
• Jeśli A_j \in \mathfrak{M} dla j=1,...n to A_1 \cap ... \cap A_n \in \mathfrak{M}

Część wspólna \sigma algebr \mathfrak{\mathfrak{M_j} } jest \sigma algebrą \bigcap_{j \in S} M_j. Jeśli \mathfrak{M} jest jakąś strukturą podzbiorów zbioru X, to część wspólna wszystkich \sigma algebr zawierających \mathfrak{M} nazywa się \sigma algebrą generowaną przez \mathfrak{M} i oznacza się ją \delta(\mathfrak{M}). I np. \sigma algebra generowana przez \mathfrak{M}  = \{ A \} to \{ \emptyset  , X, A, A^C  \} jeśli X \neq A \neq \emptyset.

• Suma (mnogościowa) dwóch \sigma algebr nie jest na ogół \sigma algebrą,
σ algebra generowana przez skończoną ilość zbiorów jest skończona oraz jeśli \mathfrak{M} jest \sigma algebra nieskończoną to |\mathfrak{M}| > |N|

ozn. terminologiczne: \sigma ciała to inaczej \sigma algebry. P(X) to to samo co 2^{X} = \{ A: A \subset  X \}. (określenie A^C to to samo co A^{\prime}, tj. A^C =A^{\prime}= X \backslash A

Zbiór niepusty A \in \mathfrak{M} nazywa się nierozkładalnym \sigma algebry \mathfrak{M} jeśli z warunku B \in \mathfrak{M} i B \subset A wynika że B =\emptyset lub B = A

Przykład 1
X = \{ 1, 2, 3, 4, 5, 6 \} i A = \{1,2 \}  \   B = \{1,3 \}   \  C =\{4, 5 \}. Tu \sigma algebra generowana przez \{ A, B, C  \} jest taka:
A \in \mathfrak{M} jeśli \{ 4, 5 \} \subset A albo A \cap \{4, 5 \} = \emptyset i ma ona 32 zbiory.
słownie: w \mathfrak{M} są te zbiory, które zawierają oba elementy: 4 i 5 bądź nie zawierają żadnego z nich.

Przykład 2
Niech X= R oraz A=[0,4] \   B=[1,2). To σ algebrę generowana przez strukturę \{ A, B \} jest \mathfrak{M}    = \{ A,  B,  A \backslash B , A^C, B^C  , (A \backslash B)^C , R, \emptyset  \}, gdzie . Ta \sigma algebra ma 3 zbiory nierozkładalne (tj. B, \ A^C , \ A \backslash B).

:arrow: Algebry i półalgebry
Cytuj:
algebrą podzbiorów zbioru niepustego X jest struktura \mathfrak{M} spełniająca następujące warunki:

  • \emptyset\in\mathfrak{M},
  • jeśli A\in\mathfrak{M}, to A'\in\mathfrak{M},
  • jeśli \{A_n:n\in N \}\subset\mathfrak{M}, to \displaystyle\bigcup_{j=1}^{n}A_j\in\mathfrak{M}.
półalgebrą podzbiorów zbioru X jest struktura \mathfrak{M} \subset 2^{X} gdy:
  • Jeśli A, B \subset \mathfrak{M} to A \cap B \in \mathfrak{M}
  • Jeśli A \in M to istnieją A_1,…, A_n takie że: A^{C}= A_1 \cup … \cup A_n oraz A_i \cap A_j= \emptyset dla i \neq  j.

Przykład
\mathfrak{M}  = \{ [a, b) : a, b \in \overline{R} \} jest półalgebrą. Przykładem algebry nie będącej \sigma algebrą jest \mathfrak{M} złożona ze zbiorów A takich że A albo A^C jest zbiorem skończonym; X=R. Algebrą generowaną przez półalgebrę \mathfrak{M} jest \{ \bigcup_{k=1}^{n} A_k  :  \ A_i \cap A_j = \emptyset , i \neq j \}


:arrow:
Cytuj:
Filtr jest to struktura \mathfrak{M} złożona ze zbiorów niepustych, takich że:
  • Jeśli A \in \mathfrak{M} I B \in \mathfrak{M} to A \cap B \in \mathfrak{M}
  • Jeśli A \in \mathfrak{M} i A \subset B to B \in \mathfrak{M}

tj. słownie: ( Filtr to struktura zamknięta na operacje “część wspólna” i „nadzbiór” ). Jeśli
\mathfrak{M} jest filtrem na X, to istnieje jedyny filtr \mathfrak{\overline{M}}, który zawiera \mathfrak{M} i taki, że jeśli A \notin \mathfrak{\overline{M}} to \{\mathfrak{\overline{M}}, A \} nie jest filtrem. (tzw. ultrafiltr).

Przykład 1
Niech X= \{ 1,2,3,... \}=N do \mathfrak{M} należą zbiory “ko-skończone” - i tylko takie. (filtr Frécheta).
Uwaga: zbiór A nazywa się „ko-skończonym” jeśli jego dopełnienie X \backslash A jest zbiorem skończonym.

Przykład 2
Niech \emptyset \neq A \neq X to F_A= \{ B \subset X : A \subset B \} jest to tzw. filtr główny

Cytuj:
\mathfrak{M} jest klasa monotoniczną gdy:
Jeśli A_n \nearrow A lub A_n \searrow A przy czym A_n \in \mathfrak{M} to A \in \mathfrak{M}

przy czym A_n \nearrow A jeśli A_1 \subset A_2 \subset A_3 \subset …oraz \bigcup_{n=1}^{\infty} A_n =A i analogicznie:
A_n \searrow A jeśli A_1 \supset A_2 \supset A_3 \supset … oraz \bigcap_{n=1}^{\infty} A_n =A.

Z definicji wynika, że jeśli A_n \searrow A to A_n^{C} \nearrow A^C (i odwrotnie). Klasą monotoniczną nie jest np. struktura \mathfrak{M} zbiorów „ko-skończonych” gdy X=R bo \mathfrak{M}  \ni A_n = X \backslash \{1,...,n \} \searrow X \backslash N \notin \mathfrak{M}.
Jeśli \mathfrak{M} jest \sigma algebrą to jest też klasą monotoniczną. Jeśli \mathfrak{M} jest algebrą oraz klasą monotoniczną, to jest też \sigma algebrą, gdyż
\bigcup_{k=1}^{\infty} A_k= \bigcup_{n=1}^{\infty} (\bigcup_{k=1}^{n} A_k)= A_1 \cup (A_1 \cup A_2) \cup (A_1 \cup A_2 \cup A_3) \cup ...


:arrow: Typowe struktury zbiorów (end).


Ukryta treść:    
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 26 lis 2013, o 00:17 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 18427
Lokalizacja: Cieszyn
Opisz jeszcze ideał. Dopełnienia zbiorów z filtru stanowią właśnie ideał. Ideałem są np. zbiory miary zero, zbiory z własnością Baire'a itp.

Miło mi, ze cytujesz mój temat :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 zwartość zbiorów - zadanie 2  Asia25  0
 Rachunek zbiorów.  JohnFrusciante  1
 Opisać sigma ciało generowane przez rodzinę zbiorów  matfka  1
 Wykaż równoliczność zbiorów A i B  D_E_F_F  6
 Spójność zbiorów - zadanie 2  gardner  5
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl