szukanie zaawansowane
 [ Posty: 27 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2013, o 22:34 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
Czy podana funkcja jest iniekcją? surjekcją? Wyznaczyć f( \RR_{-}), f^{-1}(\RR_{-})
f: \CC \rightarrow \CC, z \mapsto z^4
no i oczywiście mowa jest o liczbach zespolonych. pierwsze pytanie jest takie: co oznacza
z \mapsto z^4
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2013, o 22:41 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
kalwi napisał(a):
pierwsze pytanie jest takie: co oznacza
z \mapsto z^4

Oznacza, że liczbie z przypisujesz liczbę z^4. Czyli dokładnie to samo, co f(z)=z^4.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2013, o 23:07 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
hmm, to sprawdzenie różnowartościowości będzie wyglądać zapewne w taki sposób
z_1 \neq z_2 \\ f(z_2)-f(z_1)=z_2^4-z_1^4=(z_2^2+z_1^2)(z_2+z_1)(z_2-z_1)
no i w przypadku, gdy z_1=-z_2 to funkcja nie będzie różnowartościowa
surjekcja, czyli obraz funkcji ma się pokryć z przeciwdziedziną, w sumie nie wiem jak do tego podejść - czy sprawdzać z^4=(x+yj)^4 bo jakoś wartości, której nie przyjmuje po części
\mbox{Im} nie potrafię wykombinować.
f( \RR_{-}) - to mam wyliczyć \Re(z)<0 ?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2013, o 23:14 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
kalwi napisał(a):
hmm, to sprawdzenie różnowartościowości będzie wyglądać zapewne w taki sposób
z_1 \neq z_2 \\ f(z_2)-f(z_1)=z_2^4-z_1^4=(z_2^2+z_1^2)(z_2+z_1)(z_2-z_1)
no i w przypadku, gdy z_1=-z_2 to funkcja nie będzie różnowartościowa

Jak chcesz pokazać brak różnowartościowości, to wskazujesz dwa konkretne, różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

kalwi napisał(a):
surjekcja, czyli obraz funkcji ma się pokryć z przeciwdziedziną, w sumie nie wiem jak do tego podejść - czy sprawdzać z^4=(x+yj)^4 bo jakoś wartości, której nie przyjmuje po części \mbox{Im} nie potrafię wykombinować.

Wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia.

kalwi napisał(a):
f( \RR_{-}) - to mam wyliczyć \Re(z)<0 ?

Rozumiem, że \RR_- w tym przypadku oznacza zbiór \{z\in\CC:\Re(z)<0\land\Im(z)=0\}.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2013, o 23:42 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
Jan Kraszewski napisał(a):
Jak chcesz pokazać brak różnowartościowości, to wskazujesz dwa konkretne, różne argumenty, dla których funkcja przyjmuje tę samą wartość.

z_1=(-1-j) \\ z_2=(1+j) \\ f(z_1)=(-1-j)^4=(1+j)^4 \\ f(z_2)=(1+j)^4 \\ f(z_1)=f(z_2)
czyli iniekcją nie jest.
surjekcja:
\left| z\right| =\left| x+yj\right| = \sqrt{x^2+y^2}
czyli z tego wychodzi okrąg o środku (0,0), no a że promień tu nie jest ograniczony, to funkcja jest surjekcją
a co dla f(\RR_-) to nie będzie po prostu \left| x\right|?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 29 lis 2013, o 23:51 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
kalwi napisał(a):
z_1=(-1-j) \\ z_2=(1+j) \\ f(z_1)=(-1-j)^4=(1+j)^4 \\ f(z_2)=(1+j)^4 \\ f(z_1)=f(z_2)
czyli iniekcją nie jest.

OK, ale tak się tylko zastanawiam, dlaczego ja pokazałbym, że f(1)=f(-1)=1...

kalwi napisał(a):
surjekcja:
\left| z\right| =\left| x+yj\right| = \sqrt{x^2+y^2}
czyli z tego wychodzi okrąg o środku (0,0), no a że promień tu nie jest ograniczony, to funkcja jest surjekcją

:?: :?:

kalwi napisał(a):
a co dla f(\RR_-) to nie będzie po prostu \left| x\right|?

:?: :?:

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 00:04 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
pierwiastek czwartego stopnia z z^4 to jest |z|, czyli "wzór na okrąg"...
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 00:30 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
I co z tego?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 12:52 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
To w takim razie nie rozumiem, po co
Jan Kraszewski napisał(a):
Wyciągnąć pierwiastek czwartego stopnia.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 13:34 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
Ale z czego go wyciągasz? Wiesz, jak dowodzi się, że funkcja jest surjekcją?

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 21:02 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
trzeba pokazać, że zbiór wartości funkcji f(z)=z^4 jest równy \CC Ale jak tego dowieść, to już gorzej
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 21:14 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
Czyli nie wiesz, jak pokazywać, że funkcja jest surjekcją.

Ustalasz dowolny element przeciwdziedziny, w tym wypadku t\in\CC i znajdujesz element dziedziny z, który na niego przejdzie. Dlatego mówiłem o pierwiastkowaniu, bo tak, mając t, znajdziesz z.

JK
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 30 lis 2013, o 21:39 
Administrator
Avatar użytkownika

Posty: 12708
Lokalizacja: Kraków
kalwi napisał(a):
pierwiastek czwartego stopnia z z^4 to jest |z|, czyli "wzór na okrąg"...

Pierwiastkiem czwartego stopnia z z^4 jest z oraz trzy inne liczby zespolone leżące na okręgu o promieniu |z| takie, że wszystkie cztery tworzą kwadrat.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2013, o 18:21 
Użytkownik

Posty: 1965
Lokalizacja: Warszawa
t=f(z)=z^4 \\  t=\left| t\right| \left( \cos \varphi + j \sin \varphi \right) \\  z= \sqrt[4]{\left| t\right| }  \left( \cos  \frac{ \varphi}{4}+ j \sin  \frac{ \varphi}{4}  \right)

no i w sumie nie wiem jak zinterpretować ten wynik, wydaje się być surjekcją
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 2 gru 2013, o 20:59 
Administrator

Posty: 21361
Lokalizacja: Wrocław
No i dobrze.

JK
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 27 ]  Przejdź na stronę 1, 2  Następna strona


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 Czy funkcja jest surjekcją?  Ota  4
 Kiedy potrzebne jest wyznaczanie dziedziny ?  mateo19851  4
 Funkcja zaokrąglajaca  Anonymous  3
 Surjekcja (funkcja "na")  lucky36  1
 Funkcja z parametrem...  Finarfin  2
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl