szukanie zaawansowane
 [ Posty: 5 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2013, o 21:01 
Użytkownik

Posty: 61
Lokalizacja: Poznań
wykaż że środkowe przeciwległych boków w sześciokącie foremnym przecinają sie w jednym punkcie.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 14 gru 2013, o 22:02 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
Umieścić sześciokąt w ukladzie współrzędnych, tak, aby jedna z symetralnych boków była osią OX.
Napisać równania dwóch boków przecinających sie na osi OY.
Znaleźć równania symetralnych tych boków.
Z układu równań wyliczyć punkt przecięcia, czyli O(0,0)
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 14 gru 2013, o 22:32 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Warszawa
Dowód lepszy od dowodu Ani221 ponieważ nic nie trzeba liczyć

1. Sześciokąt foremny ma kąt między przyległymi bokami 60^{o}
2. Na sześciokącie foremnym można opisać okrąg o promieniu R
3. Z tego wynika że wszystkie wierzchołki leżą na okręgu a co trzeci wierzchołek "leży pod kątem" 180^{o} czyli naprzeciwko czyli A jest naprzeciwko D itd.
4. Skoro tak to połączmy wierzchołki A z D oraz C z F oba powstałe odcinki to średnice, mają długość 2*R i przecinają się w połowie długości czyli w środku okręgu.
Taki układ takich odcinków spełnia warunki bycia przekątnymi prostokąta.
5. Z tego wynika ze figura ACDF jest prostokątem.
6. Przeciwległe boki prostokąta (powiedzmy AF oraz CD) są do siebie równoległe, a więc ich środkowe również muszą być do siebie równoległe
7. A skoro obie środkowe są równo oddalone od pozostałych boków (DF oraz AC) to nie dość że są równoległe to leżą na tej samej prostej.

I teraz dwie wersje tego co dalej:
1. Wykazujemy że środkowe prostokąta ACDF przecinają się z obiema przekątnymi w jednym punkcie a taki może być tylko jeden - środek okręgu opisanego na sześciokącie; W związku z tym dla pozostałych prostokątów BCEF oraz ABDE zachodzi wszytko co powyżej czyli wszystkie środkowe wszystkich boków sześciokąta przecinają się w jednym punkcie
2. Skoro kąty między przyległymi bokami sześciokąta to 60^{o}to obracając prostokąt ACDF o 60^{o} otrzymujemy prostokąt ABDE, a obracając o kolejne 60^{o} otrzymujemy BCEF (a obracając o kolejne 180^{o} otrzymujemy z powrotem ACDF) w związku z czym środkowe wszystkich tych prostokątów muszą się przecinać w tym samym punkcie a co za tym idzie również środkowe boków sześciokąta.

-- 14 gru 2013, o 23:04 --

Trochę inaczej ale już z liczeniem:

Mamy sześciokąt foremny ABCDEF.
Opisujemy na nim okrąg o promieniu R i środku w pkt. O

1. Łączymy A z B z O, otrzymujemy trójkąt ABO. Jest to trójkąt równoboczny co wiemy ponieważ uważaliśmy na lekcjach matematyki. Chociaż można to też wykazać :)
Skoro już to wiemy (lub wykazaliśmy) to wiemy już że ma równe boki, jego wysokość to \frac{AB* \sqrt{3}}{2}
2. Rzucamy tę wysokość z pkt O na bok AB trójkąta ABO. Ona trafia na bok AB w pkt. G
3. Wykorzystując wiedzę że wysokość pada na podstawę pod kątem 90^{o} czyli trójkąt AOG jest prostokątny o jednym boku długości AB a drugim h oraz sinusy względnie cosinusy, wyliczamy że AG=GB= \frac{1}{2}AB
4. Skoro OG pada na AB pod kątem 90^{o} oraz dzieli AB na połowy to OG jest środkową AB
5. Skoro sześciokąt foremny można podzielić na 6 równobocznych trójkątów identycznych z ABO to dla każdego pozostałego rozumowanie będzie identyczne pozostawiając wniosek że środkowe wszystkich boków sześciokąta maja punkt wspólny w O

-- 14 gru 2013, o 23:18 --

Trzeci dowód (bez liczenia):

W sześciokąt foremny wpisujemy okrąg o środku w O i promieniu R
1. Wiemy że ten okrąg ma punkty styczne z sześciokątem w połowie długości jego boków ponieważ jest to aksjomat którego uczyli nas w szkole.
2. Skoro tak to odcinki łączące punkty styczności sześciokąta z okręgiem z pkt O są promieniami R tego okręgu.
3. Wiemy też że co trzeci wierzchołek sześciokąta leży na tej samej prostej (ponieważ kąty między przyległymi bokami są 60^{o} więc co trzeci wierzchołek jest "odległy" o 180^{o} )
4. Skoro tak to punkty styczności sześciokąta z okręgiem przeciwległych boków również muszą leżeć na jednej prostej, a z punktu 2. wiemy że ta prosta musi przechodzić przez środek okręgu - pkt. O
5. Ponieważ nie braliśmy pod uwagę żadnych konkretnych przeciwległych boków to rozumowanie automatycznie stosuje się do dwóch pozostałych par i wykazuje co chcieliśmy.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 15 gru 2013, o 10:11 
Użytkownik

Posty: 1959
Lokalizacja: Warszawa
:)
Przeczytaj uważnie to co napisałeś, analizując dokladnie każe użyte określenie.
Zaczynając od pierwszego zdania.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 16 gru 2013, o 20:00 
Użytkownik

Posty: 75
Lokalizacja: Warszawa
Zaiste, uwaga nie bez racji i wypada za nią tylko podziękować.

Postaram się odeprzeć zarzuty poniżej jako że nie widzę już możliwości edycji posta.

Na początek zaznaczam że w kontekście tego zadania jako środkową odcinka (boku) rozumiem prostą przecinającą ten odcinek (bok) pod kątem prostym i dzielącą go na dwie równe części - a nie środkową w rozumieniu środkowej trójkąta albo linii środkowej w trójkącie.
Wydaje mi się że w tym zadaniu nie można tego rozumieć inaczej, ale skoro są wątpliwości to wolę doprecyzować.

Drugi dowód jest OK, natomiast w pierwszym i trzecim wynikły pewne nieścisłości dotyczące kątów.

Powstały z mojej winy:
Mianowicie w dowodzie 1 w pkt 1 powinno być oczywiście 120^o

Natomiast w pozostałych miejscach dowodu 1 oraz 3 pisząc o kącie między przyległymi bokami nie chodziło mi o kąt między przyległymi bokami sześciokąta ABCDEF czyli np. kąt ABC, lecz, po opisaniu okręgu o środku w pkt. O na tym sześciokącie - o kąt pomiędzy promieniami łączącymi przyległe wierzchołki, czyli np. AOB.
Czyli o kąt pomiędzy przyległymi bokami trójkąta równobocznego ABO.

Wyjaśnienie powinno znaleźć się w pkt 3 pierwszego dowodu.

Po rozpoczęciu pisania po prostu przestawiłem się w głowie na te drugie boki, nie zauważyłem że nigdzie tego nie wyjaśniłem, i automatycznie z rozpędu wszędzie pisałem błędnie o "przyległych bokach sześciokąta".

Mam nadzieję że te wyjaśnienia rozproszą wszelkie wątpliwości.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 5 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 sześciokąt foremny - zadanie 16  kawa1417  1
 szesciokat foremny - zadanie 3  Za?amka  1
 Sześciokąt foremny - zadanie 9  kuba08891  6
 Sześciokąt foremny - zadanie 10  szysza94  1
 sześciokąt foremny  nicola  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl