szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 21:30 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 986
Wykazać, że jeśli \gamma leży na sferze o promieniu R, to jej krzywizna jest co najmniej równa \frac{1}{R} lub większa.

\gamma(t)=(\gamma_1(t),\gamma_2(t),\gamma_3(t))
Jeśli \gamma(t) leży na sferze to musi zachodzić

\gamma_1^2(t)+\gamma_2^2(t)+\gamma_2^2(t)=R^2

Mój pierwszy i jedyny pomysł na rozwiązanie jest taki, aby policzyć z tego pochodną, ale wtedy zniknie mi R:

2\gamma_1(t)\gamma_1^{'}(t) +2\gamma_2(t)\gamma_2^{'}(t)+ 2\gamma_3(t)\gamma_3^{'}(t)=0

\gamma_1(t)\gamma_1^{'}(t) +\gamma_2(t)\gamma_2^{'}(t)+\gamma_3(t)\gamma_3^{'}(t)=0

Znalazłam taki wzór na \kappa= \frac{\gamma(t)\circ\gamma^{'}(t)}{\parallel\gamma^{''}(t)\parallel ^2}
(to chyba tylko dla krzywej płaskiej, gdzie \tau=0)
i jak wstawię wyżej, to mam

2\kappa \parallel\gamma^{''}(t)\parallel^2=0

Już widać, że źle...

Jak rozwiązać takie zadanie?
Uniwersytet Wrocławski Instytut Matematyczny - rekrutacja 2018
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 19 gru 2013, o 23:02 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Lepiej nie stosuj wątpliwego wzoru.

Bez straty ogólności \|\gamma'(t)\|=1, bo można krzywą odpowiednio zreparametryzować. Kluczem do sukcesu okazuje się zróżniczkowanie iloczynu skalarnego \gamma(t)\circ\gamma'(t).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 gru 2013, o 10:00 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 986
Do którego momentu moje rozwiązanie jest poprawne? Czy w ogóle coś jest dobrze?

\gamma_1(t)\gamma_1^{'}(t) +\gamma_2(t)\gamma_2^{'}(t)+\gamma_3(t)\gamma_3^{'}(t)=0

Co mi da zróżniczkowanie tego iloczynu skalarnego?

(\gamma(t)\circ\gamma^{'}(t))'=\gamma^{'}(t)\circ\gamma^{'}(t)+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=\parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=1+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)

Próbowałam też liczyć iloczyn wektorowy \gamma^{'}(t) i \gamma^{''}(t), ale to chyba nic nie da, a tylko się zamotam z obliczeniach.

jeszcze jak wezmę równanie \gamma_1^2(t)+\gamma_2^2(t)+\gamma_3^2(t)=R^2, to mam
\parallel \gamma(t)\parallel ^2=R^2
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2013, o 14:35 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Natasha napisał(a):
Do którego momentu moje rozwiązanie jest poprawne? Czy w ogóle coś jest dobrze?

Słusznie stwierdzasz, że \gamma(t)\circ\gamma^{'}(t)=0, zatem...

Natasha napisał(a):
(\gamma(t)\circ\gamma^{'}(t))'=\gamma^{'}(t)\circ\gamma^{'}(t)+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=\parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)=1+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)

lewa strona tej równości jest zerem. Dalej wystarczy zastosować ogólnie znaną nierówność.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 gru 2013, o 15:08 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 986
Coś dziwnego mi pod koniec wychodzi, ale zapiszę
(chodzi o nierówność Schwarza?)

0=\parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\gamma(t)\circ\gamma^{''}(t) \le \parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\left| \gamma(t)\circ\gamma^{''}(t)\right| \le \parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\parallel \gamma(t)\parallel\cdot \parallel \gamma^{''}(t)\parallel  \le \parallel \gamma^{'}(t)\parallel ^2+\parallel \gamma(t)\parallel ^2\cdot\parallel \gamma^{''}(t)\parallel ^2=1+R^2\cdot \kappa^2

Coś z minusem wyjdzie chyba ta \kappa ...

A jeśli \gamma(t)\circ\gamma^{'}(t)=0, to te krzywe są wzajemnie prostopadłe? nie wiem.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 20 gru 2013, o 18:33 
Użytkownik

Posty: 5105
Lokalizacja: 52°16'37''N 20°52'45''E
Nie dziwię się, że z nierówności 0\le1+R^2\kappa^2 wiele nie wynika. Zrób tak:

-1=\gamma(t)\circ\gamma''(t),

1=|\gamma(t)\circ\gamma''(t)|,

i teraz szacuj.
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 20 gru 2013, o 19:15 
Użytkownik
Avatar użytkownika

Posty: 986
|\gamma(t)\circ\gamma''(t)|\le \parallel \gamma(t)\parallel\cdot \parallel \gamma^{''}(t)\parallel=R\cdot \kappa
1\le R\cdot \kappa
\frac{1}{R}\le \kappa

:D
Stokrotnie dziękuję za pomoc :)
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 krzywa na sferze  coccinelle  0
 pole miedzy krzywa i prosta  aaleks1985  2
 krzywa i okrąg  wnoros89  0
 Nazwać krzywą  awahau  2
 Jak zamienic w postac parametryczna krzywa?  pawecik  0
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl