szukanie zaawansowane
 [ Posty: 2 ] 
Autor Wiadomość
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2013, o 11:12 
Użytkownik

Posty: 19
Pięć odcinków ma tę własność, że z każdych trzech z nich można zbudować trójkąt. Udowodnij, że co najmniej jeden z tych trójkątów jest ostrokątny.
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 24 gru 2013, o 11:49 
Gość Specjalny

Posty: 3011
Lokalizacja: Gołąb
Załóżmy, nie wprost, że każdy taki trójkąt jest prostokątny lub rozwartokątny. Bez straty ogólności można przyjąć, że nasze odcinki mają długości:
a \le b \le c \le d \le e
Mamy następujące nierówności:
a^{2}+b^{2} \le c^{2} \le d^{2} <  \left(a+b \right)^{2}=a^{2}+b^{2}+2ab \le 2\left( a^{2}+b^{2}\right)
Ponadto,
e^{2} \ge c^{2}+d^{2} \ge  2\left( a^{2}+b^{2}\right)
Z drugiej jednak strony:
e^{2}<\left(a+b \right)^{2} \le 2\left( a^{2}+b^{2}\right)
Dwie ostatnie nierówności dają sprzeczność, która dowodzi prawdziwości tezy zadania.
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 2 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 stosunek odcinków w trójkącie  robin5hood  1
 Długości odcinków przeciętych okręgiem  woj110  1
 Punkt przecięcia odcinków należy do wysokości  shinigami0717  1
 oblicznie odcinków kwadratu  men131  1
 stosunek odcinkow  dido  1
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl