szukanie zaawansowane
 [ Posty: 7 ] 
Autor Wiadomość
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 14:44 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
Mój problem pojawił się na samym końcu rozwiązania:

\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2n-1)(2n+1)}
Szukałam wzoru na sumę i wyszło mi:
S(1)=\frac{1}{3}
S(2)=\frac{2}{3} \Rightarrow S(n)=\frac{n}{2n+1}
S(3)=\frac{3}{7}
I. sprawdzam prawdziwość wzoru dla n=1:
L=\frac{1}{1\cdot3}=\frac{1}{3}
P=S(1)=\frac{1}{2\cdot1+1}=\frac{1}{3}, a więc L=P
II.założenie indukcyjne: wzór jest prawdziwy dla każdego k\geqslant n:
\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{k}{2k+1}
III.dowód: wzór jest prawdziwy dla k+1:
\frac{1}{1\cdot3}+\frac{1}{3\cdot5}+...+\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}= \frac{k+1}{2k+3} \Rightarrow \frac{k}{2k+1}+\frac{1}{(2k+1)(2k+3)}=\frac{(k+1)(k+\frac{1}{2}}{1}\cdot  \frac{1}{(k+1)(k+ \frac{3}{2})}=\frac{k+1}{k+ \frac{3}{2}} a to jest bardzo podobne a jednak różne ( :lol: ) od \frac{k+1}{2k+3} , bo jak widać gdzieś mi zginął "razy dwa" :). Czy ktoś mi powie gdzie poełniłam błąd?

Błyskawiczna reakcja moderatorów. dzięki :D :oops:
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 14:56 
Gość Specjalny

Posty: 8603
Lokalizacja: Kraków
Dowód:
L_T = \frac{1}{3} + \ldots + \frac{1}{(2k-1)(2k+1)} + \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k}{2k+1} +  \frac{1}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k(2k+3) + 1}{(2k+1)(2k+3)} =  \frac{2k^2 + 3k  + 1 }  {(2k+1)(2k+3)} = \frac{(2k+1)(k+1)}{(2k+1)(2k+3)} = \frac{k+1}{2k+3} = P_T
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 15:26 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
Możesz mi jeszcze wytłumaczyć jak rozłożyłeś dwumian
2k^2 + 3k  + 1 na (2k+1)(k+1)? Mój "rozkład" :razz: też zdaje się być poprawny... w czym rzecz?
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 15:35 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
Zgubiłaś współczynnik przy k^{2}
Dla a \neq 0 mamy:
ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})
gdzie x_{1}, x_{2} to miejsca zerowe trójmianu (oczywiście jeśli \Delta > 0).
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 15:47 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
max napisał(a):
Zgubiłaś współczynnik przy k^{2}
Dla a \neq 0 mamy:
ax^{2} + bx + c = a(x - x_{1})(x - x_{2})
gdzie x_{1}, x_{2} to miejsca zerowe trójmianu (oczywiście jeśli \Delta > 0).


A właśnie że nie :P - 2k^{2} + 3k + 1 = 0 \Rightarrow \Delta=9-4\cdot\cdot2\cdot1 
\Rightarrow \sqrt{\Delta}=1 \Rightarrow k_{1}=-1, k_{2}=\frac{-1}{2} czyli, zgodnie z tym co napisałeś 2k^{2} + 3k + 1 = 1(k - (-1))(k - (\frac{-1}{2}))
Góra
Mężczyzna Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 15:53 
Gość Specjalny
Avatar użytkownika

Posty: 3306
Lokalizacja: Lebendigentanz
a = 2
...?

(:
Góra
Kobieta Offline
PostNapisane: 27 kwi 2007, o 15:55 
Użytkownik

Posty: 94
Lokalizacja: gdańsk
AAAA! a=2, aha! ! ! ! ! ! ! AAAAAAAAaaale zaćmienie, dzięki facet, pomogłeś!
Góra
Utwórz nowy temat Odpowiedz w temacie  [ Posty: 7 ] 


 Zobacz podobne tematy
 Tytuł tematu   Autor   Odpowiedzi 
 wykaż, że: (a+b)^n <= 2^(n-1) (a^n + b^n)  ambrozy  2
 Udowodnij wzór - zadanie 2  Tys  1
 indukcja - udowodnij prawdziwość nierówności  Anonymous  3
 Wykaż, że 9 dzieli ... - pytanie.  apacz  6
 Czy istnieje wzór...?  mol_ksiazkowy  3
 
Atom [Regulamin Forum] [Instrukcja LaTeX-a] [Poradnik] [F.A.Q.] [Reklama] [Kontakt]
Copyright (C) Karpatka.pl